Chủ đề này có 2 trả lời

[tonarinototoro]

1, cho a,b,c là các số thực dương.

chứng minh  $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq \frac{6\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )}{a+b+c}$

 

[binhnhaukhong]

BĐT này có thể chứng minh không mấy khó khăn bằng S.O.S, ở đây mình sẽ chứng minh bằng Cauchy-Schwarz:

 

BĐT tương đương với:$\sum (\frac{a^2}{b}+b-2a)\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

 

$\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$

Vậy ta sẽ chứng minh:$ \frac{4(a-c)^2}{a+b+c}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)\Leftrightarrow (b-c)(b-a)\leq 0$

Điều này đúng khi ta giả sử rằng $b$ nằm giữa $a$ và $c$

[nhungvienkimcuong]

skill của anh binhnhaukhong ở trên bạn có thể tham khảo thêm ở đây

 yếu tố ít nhất.pdf   252.85K   45 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-05-2015 - 21:16