Chủ đề này có 5 trả lời

[grigoriperelmanlapdi]

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho $1999^k - 1$ chia hết cho $104$

[the man]

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho $1999^k - 1$ chia hết cho $104$

$1999^k-1\equiv 23^k-1(mod 104)$

Thấy $k=6n(n\in N)\Rightarrow 23^k-1=23^{6n}-1=(23^3)^{2n}-1\equiv (-1)^{2n}-1\equiv 0(mod 104)$

$\Rightarrow 1999^{6n}-1\vdots 104\Rightarrow Đpcm$

[grigoriperelmanlapdi]

$1999^k-1\equiv 23^k-1(mod 104)$

Thấy $k=6n(n\in N)$$\Rightarrow 23^k-1=23^{6n}-1=(23^3)^{2n}-1\equiv (-1)^{2n}-1\equiv 0(mod 104)$

$\Rightarrow 1999^{6n}-1\vdots 104\Rightarrow Đpcm$

Cho mình hỏi tại sau bạn biết đặt $k=6n$ ở chỗ này vậy, lỡ $k$ không phải là bội của $6$ thì sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi grigoriperelmanlapdi: 11-05-2015 - 06:47

[ducvipdh12]

Cho mình hỏi tại sau bạn biết đặt $k=6n$ ở chỗ này vậy, lỡ $k$ không phải là bội của $6$ thì sao?

thế thì mình vét hết các trường hợp thôi em

[nguyenhuuhung]

Dùng nguyên lý Dirichler cũng được ạ.

 

Xét 105 số: 1999,1999²,1999³,..........,1999¹⁰⁵

Theo nguyên lý Dirichler, tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 104.

Giả sử: hai số đó là 1999^m  và 1999ⁿ (0<=n<m)

Ta có 1999^m -1999ⁿ     chia hết cho 104

      =)1999ⁿ (1999^m-n-1) chia hết cho 104

      Mà (1999,104)=1

      =)    1999^m-n-1 chia hết cho 104

    =) Điều phải chứng minh

[the man]

Cho mình hỏi tại sau bạn biết đặt $k=6n$ ở chỗ này vậy, lỡ $k$ không phải là bội của $6$ thì sao?

Thì đề bài chỉ hỏi là "tồn tại" thôi mà