Em xin trình bày một bài giải của PTH mà em có vấn đề không hiểu rõ lắm:
Tìm hàm $f$ thỏa $f(x)+f(y)=f(x+y)$, $f$ liên tục trên $R$.
(loại bài toán này rất cơ bản nhưng ở đây em trình bày một hướng giải khác nhưng có vẻ bị lỗi ở đâu thì phải)
Giải
Xét đoạn $\left[ {a;b} \right]$ bất kỳ do $f$ liên tục trên $R$ nên $f$ liên tục trên đoạn này. Từ đó ta được $f$ khả tích trên đây.
$\forall x;y \in \left[ {a;b} \right]:x + y \in \left[ {a;b} \right]$ ta có $\int\limits_a^b {f(x + y)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + (b - a)f(y)$
Đặt $t = x + y \Rightarrow dt = dx$
Ta được $\int\limits_{a + y}^{b + y} {f(t)dt} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + (b - a)f(y)$ (1)
$ \Rightarrow f(y) = \frac{{\int\limits_{a + y}^{b + y} {f(t)dt} - \int\limits_a^b {f(x)dx} }}{{b - a}}$
$\Rightarrow f(x)$ khả vi trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ do đó $f$ khả vi trên toàn trục số.
Lấy đạo hàm theo $x$ rồi theo $y$ ta được $f(x)=cx$. thử lại thấy thỏa.
Vấn đề mà em thấy thắc mắc là chổ (1) do trong chứng minh ta chỉ có giả thiết khả tích trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà khi đổi cần ta làm dịch chuyển đoạn đó rồi chắc gì hàm khả tích nữa (trong bài toán này nó đúng mới đau chứ vì $f$ liên tục trên $R$ mà). Nhưng nếu em giới hạn lại thì cách làm như thế có bị gì không ạ!!
Em cần khai thông cái này ạ!!
