Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=3$.Tìm giá trị lớn nhất của $x^{2}+y^{2}+z^{2}$.
Tìm giá trị lớn nhất của $x^{2}+y^{2}+z^{2}$.
#1
Đã gửi 11-05-2015 - 16:12
#2
Đã gửi 11-05-2015 - 17:11
Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=3$.Tìm giá trị lớn nhất của $x^{2}+y^{2}+z^{2}$.
Áp dụng Cauchy với $2015$ số:
$x^{2015}+x^{2015}+1+1+1...+1\geq 2015.sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}.1^{2013}}$
(Có $2013$ số $1$)
$\Leftrightarrow 2x^{2015}+2013\geq 2015.x^2$
Ta có: $2\sum x^{2015}+2013.3\geq 2015.\sum x^2$
Vì $\sum x^{2015}=3$ nên:
$2.3+2013.3\geq 2015\sum x^2$
$\Leftrightarrow 2015.3\geq 2015\sum x^2$
$\Leftrightarrow \sum x^2\leq 3$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$ (TM)
- SuperReshiram yêu thích
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
#3
Đã gửi 11-05-2015 - 18:30
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2015 số dương, ta có :
$x^{2015}+x^{2015}+1+1+...+1\geq 2015x^{2}$
Tương tự, cộng vế theo vế được đpcm
- ngheovanvip02 và NPTV1207 thích
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh