Đến nội dung

Hình ảnh

$\dots \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow \dots$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
bemoon

bemoon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
Chứng minh ………Z4 -> Z4 -> Z4 -> Z4 ->………… là khớp.

#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Chứng minh ………Z4 -> Z4 -> Z4 -> Z4 ->………… là khớp.

 

Maps giữa những module đó là gì bạn?



#3
bemoon

bemoon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
Đề chỉ nói chứng minh tồn tại 1 dãy khớp ( over Z) như thế bạn nak :)
Ngoài câu ni. Còn có câu:
Chứng minh tồn tại dãy khớp ( over Z): 0-> Z2 ->Z4 ->Z4-> Z2 -> 0

#4
bemoon

bemoon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
Chứng minh : Nếu M là Z-modun hữu hạn cyclic. Cm: 0-> Z-> Z-> M-> 0. Là dãy khớp ngắn. Theo mình M đẵng cấu với Zn.

#5
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đề chỉ nói chứng minh tồn tại 1 dãy khớp ( over Z) như thế bạn nak :)
Ngoài câu ni. Còn có câu:
Chứng minh tồn tại dãy khớp ( over Z): 0-> Z2 ->Z4 ->Z4-> Z2 -> 0

 

Bạn gõ latex kĩ lại giùm mình chỗ này: dãy khớp của bạn là

$$\dots \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow \dots$$

hay là

$$ Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow \dots$$

Hai dãy này khác nhau.

 

Để tìm dãy $0 \rightarrow Z/2Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/2Z \rightarrow 0$, ta thử tìm 1 toàn ánh $\varphi_0: Z/4Z \rightarrow Z/2Z \rightarrow 0$, thử map $z+ 4Z \mapsto z+ 2Z$. Bạn cần chứng minh đây là 1 morphism giữa module over $Z$. Dễ thấy, hàm này toàn ánh. Gọi $K$ là kernel của $\varphi_0$. Bây giờ ta cần $\varphi_1: Z/4Z \rightarrow K \rightarrow 0$ là toàn ánh để ta có dãy khớp $Z/4Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow Z/2Z \rightarrow 0$.

 

Ta thấy kernel của $\varphi_0$ là $K=\{0 +4Z, 2+ 4Z\} \subset Z/4Z$ (vì $Z/4Z =\{0+4Z, 1+ 4Z, 2+4Z, 3+4Z\}$). Nên bây giờ ta cần tìm toàn ánh $\varphi_1: Z/4Z \rightarrow K$. Nhưng ta để ý, ta cần kernel của toàn ánh $\varphi_1$ phải là $Z/2Z$ vì ta cần $0 \rightarrow Z/2Z \rightarrow Z/4Z \rightarrow K \rightarrow 0$. Ta không thể chọn $\varphi_1(z+ 4Z)= z+ 4Z$ được (vì sao?). Nhưng ta có thể chọn $\varphi_1(z+4Z)= 2z+ 4Z$. Bạn cần kiểm tra đây là morphism giữa module over $Z$. Và $\varphi_1: Z/4Z \rightarrow K$ là toàn ánh. Kernel của hàm này là $\{0+4Z, 2+ 4Z\}$ nên đẳng cấu với $Z/2Z$ và là điều ta muốn.

 

Tóm lại, maps giữa những modules trên như sau

$$\begin{matrix}
0 \rightarrow & Z/2Z  & \rightarrow & Z/4Z & \rightarrow  & Z/4Z & \rightarrow  & Z/2Z & \rightarrow  0 \\
   & z + 2Z & \mapsto & z+ 4Z &  &  &  &  &    \\
   &  &  & z+ 4Z & \mapsto & 2z+ 4Z &  &  &   \\
   &  &  &  &  & z+4Z & \mapsto & z+2Z &    
\end{matrix}$$



#6
bemoon

bemoon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
Chứng minh tồn tại dãy khớp ....->Z4 -> Z4 -> Z4 -> Z4 -> ...... Bạn nha... :)

#7
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Chứng minh tồn tại dãy khớp ....->Z4 -> Z4 -> Z4 -> Z4 -> ...... Bạn nha... :)

 

Nhìn vào map $\varphi: Z/4Z \rightarrow Z/4Z$ được cho bởi $\varphi(z+4Z)= 2z + 4Z$, ta thấy $im(\varphi)=\{0 + 4Z, 2+ 4Z\}$ và $ker(\varphi)=\{0+ 4Z, 2+ 4Z\}$. Gọi $K= \{0+ 4Z, 2 + 4Z\}= im(\varphi)= ker(\varphi)$. Nên ta có dãy khớp

$$0 \rightarrow K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\pi} \frac{Z/4Z}{K} \rightarrow 0$$

với maps $\pi: Z/4Z \rightarrow \frac{Z/4Z}{K}$ là projection tự nhiên và $i: K \hookrightarrow Z/4Z$ là inclusion tự nhiên.

Mà $\frac{Z/4Z}{K} \cong \{0+4Z, 2 + 4Z\}= K$. Gọi đẳng cấu đó là $\alpha$. Đến đây, ta có

$$K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\pi} \frac{Z/4Z}{K} \xrightarrow{\alpha} K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z\rightarrow \dots$$

Như vậy, để xây dựng dãy khớp về bên phải, ta dựng như sau

$$Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi}\dots$$

Đến đây, ta thấy dãy này khớp (kiểm tra).

Dễ thấy, mở rộng về bên trái hoàn toàn giống như bên phải

$$\dots K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\pi} \frac{Z/4Z}{K} \xrightarrow{\alpha} K \xrightarrow{i} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi}\dots$$

Vì vậy ta có dãy khớp

$$\dots \rightarrow Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{i~ \circ~ \alpha ~\circ ~\pi}Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z\rightarrow \dots$$

 

EDIT: nửa đêm rồi viết tới viết lui thành ra viết dài, viết dở. Xét $\varphi: Z/4Z \rightarrow Z/4Z$ được cho bởi $\varphi(z+ 4Z)= 2z+ 4Z$. Và ta xét chuỗi

$$\dots \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} Z/4Z \xrightarrow{\varphi} \dots$$

Ta thấy $\varphi \circ \varphi = 0$ và nếu $z+ 4Z \in ker(\varphi),$ thì $z \in \{0, 2\}$ nên $z+ 4Z \in im(\varphi)$. Vì vậy $im(\varphi)= ker(\varphi)$ (2 $\varphi$ này là 2 hàm kế bên nhau, chúng nó chỉ vô tình có cùng 1 tên), nên dãy trên là dãy khớp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 12-05-2015 - 11:09


#8
bemoon

bemoon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Cho U là không gian 1 chiều có cơ sở là $\left \{ u \right \}$ , Cho V là không gian 3 chiều có cơ sở là $\left \{ v_{1} \right,v_{2}, v_{3} \}$ , Cho W là không gian 2 chiều có cơ sở là $\left \{w _{1} \right,w_{2} \}$ . cho f : $U\rightarrow V$ được xác định bởi f(au)= av1+av , g: $V\rightarrow W$ được xác định bởi g(a1v1+a2v2+a3v3)= a1w1+a2w2.

 CMR  dãy $0\rightarrow \overset{f}{U\rightarrow} V \overset{g}{\rightarrow} W \rightarrow 0$ khớp tại U W nhưng không khớp tại V

 



#9
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Cho U là không gian 1 chiều có cơ sở là $\{ u  \}$ , Cho V là không gian 3 chiều có cơ sở là $ \{ v_{1} ,v_{2}, v_{3} \}$ , Cho W là không gian 2 chiều có cơ sở là $ \{w _{1} , w_{2} \}$ . cho f : $U\rightarrow V$ được xác định bởi f(au)= av1+av , g: $V\rightarrow W$ được xác định bởi g(a1v1+a2v2+a3v3)= a1w1+a2w2.

 CMR  dãy $0\rightarrow \overset{f}{U\rightarrow} V \overset{g}{\rightarrow} W \rightarrow 0$ khớp tại U, W nhưng không khớp tại V.

 

Ghi lại định nghĩa của hàm $f$ và hàm $g$, để định nghĩa hàm từ không gian vector, ta chỉ cần định nghĩa trên cơ sở của domain là được. Nhìn vào tác động của hàm đó trên từng vector trên cơ sở, ta sẽ dễ hiểu những hàm đó hơn. Ta có, $f(u)= v_1+v_2$ và $g(v_1)=w_1$, $g(v_2)=w_2$, $g(v_3)=0$. Như vậy, chưa cần làm gì hết, ta đã thấy hàm $g$ là một natural projection lên $W$ vì $V=Kv_1 \oplus Kv_2 \oplus Kv_3$ và $g(V)= Kw_1 \oplus Kw_2 \oplus 0 = W$. Nên $g$ là toàn ánh, nên dãy trên khớp tại $W$.

 

Để thấy dãy trên khớp tại $U$, ta cần chứng minh $f$ là đơn ánh. Điều này dễ chứng minh.

 

Để thấy dãy trên không khớp tại $V$, ta chỉ cần cho thấy $im(f) \ne ker(G)$. Để thấy điều đó, dễ nhất là $f(u)=v_1+ v_2 \in im(f)$ nhưng $g(v_1+v_2)=w_1+w_2 \ne 0$ nên $v_1+v_2 \notin ker(g)$.

(dãy này thậm chí không phải là complex)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 14-05-2015 - 05:10





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh