Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoaln

hoaln

    Chú lính chì

  • Thành viên
  • 137 Bài viết

Đã gửi 06-02-2005 - 18:47

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-10-2013 - 06:53


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 11-10-2013 - 20:26

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bài này làm hơi trâu :closedeyes:

 

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$

 

$*TH1:f(0)=0$ hoặc $g(0)=0$

$-TH:f(0)=0$

$P(-g(0),0)\Rightarrow g(-g(0))=0$

$P(0,-g(0))\Rightarrow f(g(-g(0)))=g(0)\Rightarrow g(0)=0$

$-TH:g(0)=0$

$P(0,0)\Rightarrow f(0)=0$

Nên $f(0)=0$ hoặc $g(0)=0$ thì $f(0)=g(0)=0$

$P(0,x)\Rightarrow f(g(x))=0$

$P(x,0)\Rightarrow g(x)=f(x)\Rightarrow f(f(x))=g(f(x))=g(g(x))=0$

$P(x,f(x))\Rightarrow f(x+g(f(x)))=xf(f(x))-(f(x))^2+g(x)\Rightarrow f(x)=0\Rightarrow g(x)=0$

 

$*TH2:f(0)\neq 0,g(0)\neq 0$

$P(0,x)\Rightarrow f(g(x))=-xf(0)+g(0)$

$P(g(x),y)\Rightarrow f(g(x)+g(y))=g(x)f(y)-yf(g(x))+g(g(x))$

$\Rightarrow f(g(x)+g(y))=g(x)f(y)+xyf(0)-yg(0)+g(g(x))$

$P(g(y),x)\Rightarrow f(g(y)+g(x))=g(y)f(x)+xy f(0)-xg(0)+g(g(y))$

$\Rightarrow g(x)f(y)-yg(0)+g(g(x))=g(y)f(x)-xg(0)+g(g(y)),(*)$

Thay $x$ bằng $g(x)$ vào $(*)$ có

$g(g(g(x)))+f(y)g(g(x))-g(y)f(g(x))+g(0)g(x)-g(g(y))-yg(0)=0$

$\Rightarrow g(g(g(x)))+f(y)g(g(x))+g(0)g(x)+g(y)f(0)x-g(g(y))-g(y)g(0)-yg(0)=0$

Cũng có $g(g(g(x)))+f(z)g(g(x))+g(0)g(x)+g(z)f(0)x-g(g(z))-g(z)g(0)-zg(0)=0$

$\Rightarrow (f(y)-f(z))g(g(x))+(g(y)-g(z))f(0)x+(m(y)-m(z))=0,(m(x)=-g(g(x))-g(x)g(0)-xg(0))$

$\Rightarrow g(g(x))=a_0x+b_0$ (với $a_0,b_0$ là hằng số)

Thay $y=0$ vào $(*)$ ta có

$g(x)f(0)+g(g(x))=g(0)f(x)-xg(0)+g(g(0))$

$\Rightarrow g(0)f(x)=g(x)f(0)+a_0x+b_0+xg(0)-g(g(0))$

$\Rightarrow f(x)=k_1g(x)+a_1x+b_1,(**)$ (với $k_1,a_1,b_1$ là hằng số)

Thay $x$ bằng $g(x)$ vào $(**)$ có

$f(g(x))=k_1g(g(x))+a_1g(x)+b_1$

$\Rightarrow -xf(0)+g(0)=k_1a_0x+k_1b_0+a_1g(x)+b_1$

$\Rightarrow g(x)=ex+f$ (với $e,f$ là hằng số)

$\Rightarrow f(x)=ax+b$ (với $a,b$ là hằng số) (khi thay vào $(**)$)

Vậy $f(x),g(x)$ là các đa thức bậc 1

Khi thử lại ta xác định được $a=\dfrac{e}{e+1},b=\dfrac{-e^2}{e+1},f=-e^2$

Vậy các cặp hàm thỏa đề là $f(x)=\dfrac{ex-e^2}{e+1},g(x)=ex-e^2$ :ukliam2:

 

Ps: Cân bằng hệ số nhầm :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 12-10-2013 - 12:16

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 12-10-2013 - 13:31

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$


:( :(

Bài làm

$$\boxed{f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)}$$

+) Thế y bởi 0: $f(x+g(0))=xf(0)+g(0)$
Đặt $g(0)=a$

với $\Delta$ bất kỳ
Thế $(x;y)$ bởi $(x+\Delta +a ; y)$
Ta có: $f(x+a+\Delta+g(y))=(x+a+\Delta) f(y)-yf(x+a+\Delta)+g(x+a+\Delta)$
Thế $(x;y)$ bởi $(x+a ; y)$
Ta có: $f(x+a+g(y))=(x+a)f(y)-yf(x+a)+g(x+a)$

Trừ vế cho vế được:
$\Delta f(0)+g(x+\Delta+g(y))-g(x+g(y))=\Delta f(y)-y(\Delta f(0)+g(x+a+\Delta )-g(x+a))+g(x+\Delta )-g(x)$

Cho $y=0$
Trở thành: $g(x+t+c)-g(x+c)=g(x+t)-g(x)$

Cho $y=1$ và kết hợp với điều trên có:
$g(x+\Delta +g(1))-g(x+g(1))=\Delta (f(1)-f(0))$

Từ đó suy ra $f(x)=\frac{a(x-a)}{a+1},g(x)=a(x-a) $

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#4 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 05-01-2015 - 20:31

:( :(

Bài làm

$$\boxed{f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)}$$

+) Thế y bởi 0: $f(x+g(0))=xf(0)+g(0)$
Đặt $g(0)=a$

với $\Delta$ bất kỳ
Thế $(x;y)$ bởi $(x+\Delta +a ; y)$
Ta có: $f(x+a+\Delta+g(y))=(x+a+\Delta) f(y)-yf(x+a+\Delta)+g(x+a+\Delta) $
Thế $(x;y)$ bởi $(x+a ; y)$
Ta có: $f(x+a+g(y))=(x+a)f(y)-yf(x+a)+g(x+a) $

Trừ vế cho vế được:
$\Delta f(0)+g(x+\Delta+g(y))-g(x+g(y))=\Delta f(y)-y(\Delta f(0)+g(x+a+\Delta )-g(x+a))+g(x+\Delta )-g(x)$

Cho $y=0$
Trở thành: $g(x+t+c)-g(x+c)=g(x+t)-g(x)$

Cho $y=1$ và kết hợp với điều trên có:
$g(x+\Delta +g(1))-g(x+g(1))=\Delta (f(1)-f(0))$

Từ đó suy ra $f(x)=\frac{a(x-a)}{a+1},g(x)=a(x-a) $

trừ đi sai rồi

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 05-01-2015 - 20:34

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh