Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
hoaln

hoaln

    Chú lính chì

  • Thành viên
  • 137 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-10-2013 - 06:53


#2
Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bài này làm hơi trâu :closedeyes:

 

Cho $P(x,y)$ có tính chất $f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)$

 

$*TH1:f(0)=0$ hoặc $g(0)=0$

$-TH:f(0)=0$

$P(-g(0),0)\Rightarrow g(-g(0))=0$

$P(0,-g(0))\Rightarrow f(g(-g(0)))=g(0)\Rightarrow g(0)=0$

$-TH:g(0)=0$

$P(0,0)\Rightarrow f(0)=0$

Nên $f(0)=0$ hoặc $g(0)=0$ thì $f(0)=g(0)=0$

$P(0,x)\Rightarrow f(g(x))=0$

$P(x,0)\Rightarrow g(x)=f(x)\Rightarrow f(f(x))=g(f(x))=g(g(x))=0$

$P(x,f(x))\Rightarrow f(x+g(f(x)))=xf(f(x))-(f(x))^2+g(x)\Rightarrow f(x)=0\Rightarrow g(x)=0$

 

$*TH2:f(0)\neq 0,g(0)\neq 0$

$P(0,x)\Rightarrow f(g(x))=-xf(0)+g(0)$

$P(g(x),y)\Rightarrow f(g(x)+g(y))=g(x)f(y)-yf(g(x))+g(g(x))$

$\Rightarrow f(g(x)+g(y))=g(x)f(y)+xyf(0)-yg(0)+g(g(x))$

$P(g(y),x)\Rightarrow f(g(y)+g(x))=g(y)f(x)+xy f(0)-xg(0)+g(g(y))$

$\Rightarrow g(x)f(y)-yg(0)+g(g(x))=g(y)f(x)-xg(0)+g(g(y)),(*)$

Thay $x$ bằng $g(x)$ vào $(*)$ có

$g(g(g(x)))+f(y)g(g(x))-g(y)f(g(x))+g(0)g(x)-g(g(y))-yg(0)=0$

$\Rightarrow g(g(g(x)))+f(y)g(g(x))+g(0)g(x)+g(y)f(0)x-g(g(y))-g(y)g(0)-yg(0)=0$

Cũng có $g(g(g(x)))+f(z)g(g(x))+g(0)g(x)+g(z)f(0)x-g(g(z))-g(z)g(0)-zg(0)=0$

$\Rightarrow (f(y)-f(z))g(g(x))+(g(y)-g(z))f(0)x+(m(y)-m(z))=0,(m(x)=-g(g(x))-g(x)g(0)-xg(0))$

$\Rightarrow g(g(x))=a_0x+b_0$ (với $a_0,b_0$ là hằng số)

Thay $y=0$ vào $(*)$ ta có

$g(x)f(0)+g(g(x))=g(0)f(x)-xg(0)+g(g(0))$

$\Rightarrow g(0)f(x)=g(x)f(0)+a_0x+b_0+xg(0)-g(g(0))$

$\Rightarrow f(x)=k_1g(x)+a_1x+b_1,(**)$ (với $k_1,a_1,b_1$ là hằng số)

Thay $x$ bằng $g(x)$ vào $(**)$ có

$f(g(x))=k_1g(g(x))+a_1g(x)+b_1$

$\Rightarrow -xf(0)+g(0)=k_1a_0x+k_1b_0+a_1g(x)+b_1$

$\Rightarrow g(x)=ex+f$ (với $e,f$ là hằng số)

$\Rightarrow f(x)=ax+b$ (với $a,b$ là hằng số) (khi thay vào $(**)$)

Vậy $f(x),g(x)$ là các đa thức bậc 1

Khi thử lại ta xác định được $a=\dfrac{e}{e+1},b=\dfrac{-e^2}{e+1},f=-e^2$

Vậy các cặp hàm thỏa đề là $f(x)=\dfrac{ex-e^2}{e+1},g(x)=ex-e^2$ :ukliam2:

 

Ps: Cân bằng hệ số nhầm :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 12-10-2013 - 12:16

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}; g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$


:( :(

Bài làm

$$\boxed{f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)}$$

+) Thế y bởi 0: $f(x+g(0))=xf(0)+g(0)$
Đặt $g(0)=a$

với $\Delta$ bất kỳ
Thế $(x;y)$ bởi $(x+\Delta +a ; y)$
Ta có: $f(x+a+\Delta+g(y))=(x+a+\Delta) f(y)-yf(x+a+\Delta)+g(x+a+\Delta)$
Thế $(x;y)$ bởi $(x+a ; y)$
Ta có: $f(x+a+g(y))=(x+a)f(y)-yf(x+a)+g(x+a)$

Trừ vế cho vế được:
$\Delta f(0)+g(x+\Delta+g(y))-g(x+g(y))=\Delta f(y)-y(\Delta f(0)+g(x+a+\Delta )-g(x+a))+g(x+\Delta )-g(x)$

Cho $y=0$
Trở thành: $g(x+t+c)-g(x+c)=g(x+t)-g(x)$

Cho $y=1$ và kết hợp với điều trên có:
$g(x+\Delta +g(1))-g(x+g(1))=\Delta (f(1)-f(0))$

Từ đó suy ra $f(x)=\frac{a(x-a)}{a+1},g(x)=a(x-a) $

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#4
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

:( :(

Bài làm

$$\boxed{f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)}$$

+) Thế y bởi 0: $f(x+g(0))=xf(0)+g(0)$
Đặt $g(0)=a$

với $\Delta$ bất kỳ
Thế $(x;y)$ bởi $(x+\Delta +a ; y)$
Ta có: $f(x+a+\Delta+g(y))=(x+a+\Delta) f(y)-yf(x+a+\Delta)+g(x+a+\Delta) $
Thế $(x;y)$ bởi $(x+a ; y)$
Ta có: $f(x+a+g(y))=(x+a)f(y)-yf(x+a)+g(x+a) $

Trừ vế cho vế được:
$\Delta f(0)+g(x+\Delta+g(y))-g(x+g(y))=\Delta f(y)-y(\Delta f(0)+g(x+a+\Delta )-g(x+a))+g(x+\Delta )-g(x)$

Cho $y=0$
Trở thành: $g(x+t+c)-g(x+c)=g(x+t)-g(x)$

Cho $y=1$ và kết hợp với điều trên có:
$g(x+\Delta +g(1))-g(x+g(1))=\Delta (f(1)-f(0))$

Từ đó suy ra $f(x)=\frac{a(x-a)}{a+1},g(x)=a(x-a) $

trừ đi sai rồi

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 05-01-2015 - 20:34

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh