Chủ đề này có 5 trả lời

[Phanbalong]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn xy+yz+zx=1. Tìm Min: 
 
  $13x^{2}+12y^{2}+22z^{2}$

[Ngoc Hung]

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn xy+yz+zx=1. Tìm Min: 
 
  $13x^{2}+12y^{2}+22z^{2}$

 

Xem dạng tổng quát tại ĐÂY

[Viet Hoang 99]

Hì. em dịch:

 

Đề bài: Cho $x,y,z,k,l,h\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm Min của $P=kx^2+ly^2+hz^2$

 

Lời giải:

 

\[P = kx ^ 2 + ly ^ 2 + hz ^ 2 = (a + m) x ^ 2 + (b + n) y ^ 2 + (c + p) z ^ 2 \]

 

Áp dụng bđt AM-GM, ta có $ax^2+by^2\geq 2\sqrt {ab}xy,~~ mx ^ 2 + cz ^ 2\geq 2\sqrt{mc} zx,~~ ny ^ 2 + pz ^ 2\geq 2\sqrt{np} yz $.

$\Rightarrow P\ge 2\sqrt{ab}xy+2\sqrt{mc}zx+2\sqrt{np}yz$        $(*)$

Đẳng thức xảy ra khi $ax = by $ , $ cz = mx $ , $ ny = pz $.

Nhân lại ta có: $acn=bmp$

 

Để sử dụng được điều kiện $xy+yz+zx=1$ thì ta phải có $2\sqrt{ab}=2\sqrt{mc}=2\sqrt{np}$        (Do $(*)$)

$\Rightarrow ab = mc = np = t\Rightarrow acn.bmp=t^3$, mà $acn=bmp$ do đó $ acn= bmp =\sqrt{t ^ 3} $.

Khi đó $P\ge 2\sqrt{t}(xy+yz+zx)=2\sqrt{t}$

 

Nhân các phương trình $ k = a + m, l = b + n, h = c + p $ ta được:

\[\begin{aligned} klh&=(a+m)(b+n)(c+p)=(ab+an+mb+mn)(c+p)\\ &=abc+mbc+mnc+abp+anp+mnp+mbp+anc=t(c+b+n+p+a+m)+2\sqrt{t^3}\\ &=2\sqrt{t^3}+t(k+l+h) \end{aligned}\]

 

 

Đặt $q=\sqrt{t} $, ta có pt: $ 2q ^ 3 + q ^ 2 (k + l + h) -klh = 0 $.

Giải pt bậc 3 ẩn $q$ ta tìm được $q$ và $Min_P=2\sqrt{t}=2q$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-05-2015 - 15:50

[tuananh2000]

Xem dạng tổng quát tại ĐÂY

Em vẫn chưa hiểu cách lắm , thầy thử giải bài trên làm vd đc không ạ ?

[ducvipdh12]

Em vẫn chưa hiểu cách lắm , thầy thử giải bài trên làm vd đc không ạ ?

em tham khảo thêm các tài liệu về phương pháp cân bằng hệ số nhé,trong sách nói chi tiết về cách làm này

[Phanbalong]

Còn có 1 cách giải tổng quát nữa mà sử dụng BCS , có ai nghĩ ra không