Chủ đề này có 7 trả lời

[congdan9aqxk]

Tìm số nguyên tố p sao cho $2(p+1)$ và $2(p^{2}+1)$ đều là số chính phương

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 13-05-2015 - 15:51

[Namthemaster1234]

Em chỉ còn một bổ đề là có thể chứng minh xong nhưng chẳng biết nó đúng không (em nghĩ là sai). Nhờ Mọi người đưa ra phản ví dụ

BĐ: Không tồn tại m,n nguyên dương thỏa mãn : $p^2=m^2+2n^2$

[dogsteven]

Em chỉ còn một bổ đề là có thể chứng minh xong nhưng chẳng biết nó đúng không (em nghĩ là sai). Nhờ Mọi người đưa ra phản ví dụ

BĐ: Không tồn tại m,n nguyên dương thỏa mãn : $p^2=m^2+2n^2$

$p=3, m=1, n=2$

[AnhNgoc030201]

Tìm số nguyên tố p sao cho $2(p+1)$ và $2(p^{2}+1)$ đều là số chính phương

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

 

 

Giả thiết dẫn tới $(p+1)(p^2+1)=y^2$

 

$\Rightarrow p^3+p^2+p+1=y^2\Rightarrow p^4-1=y^2(p-1)\Rightarrow p^4-(p-1)y^2=1$

 

Đây là phương trình pell loại I. Bạn thử đọc công thức nghiệm của phương trình pell và tìm $p$ coi sao.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhNgoc030201: 14-05-2015 - 17:22

[hoctrocuaZel]

Tìm số nguyên tố p sao cho $2(p+1)$ và $2(p^{2}+1)$ đều là số chính phương

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

$2(p+1)=(2x)^2;2(p^2+1)=(2y)^2=>2(y^2-x^2)=p(p-1);0<x<y<p=>1<y-x<p;1<y+x<2p=>y+x=p;2(y-x)=p-1\Rightarrow p+1=4x=>x=2;p=7$

[congdan9aqxk]

$2(p+1)=(2x)^2;2(p^2+1)=(2y)^2=>2(y^2-x^2)=p(p-1);0<x<y<p=>1<y-x<p;1<y+x<2p=>y+x=p;2(y-x)=p-1\Rightarrow p+1=4x=>x=2;p=7$

có lẽ vẫn thiếu :nếu y+x=m.n thì có thể 2m(y-x)=(p-1);n=p

[hoctrocuaZel]

có lẽ vẫn thiếu :nếu y+x=m.n thì có thể 2m(y-x)=(p-1);n=p

Cách làm đúng, kg thiếu :v

[hoctrocuaHolmes]

Tìm số nguyên tố p sao cho $2(p+1)$ và $2(p^{2}+1)$ đều là số chính phương

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

$2(p+1)=a^2,2(p^2+1)=b^2$ nên $a=2x,b=2y$
Suy ra $p+1=2x^2,p^2+1=2y^2 \Rightarrow p(p-1)=2(y-x)(y+x)$ thấy $p=2$ không là nghiệm nên $p>2$ nên $gcd(p,2)=1$
Do đó $y-x \vdots p$ hoặc $y+x \vdots p$ nếu $y-x \vdots p$ thì $2(y-x)\geq 2p$ thì $y+x\le p-1<p\le y-x$ vô lí
Suy ra $y+x \vdots p$ mà $p+1=2x^2,p^2+1=2y^2$ nên $x,y<p$ do đó $x+y<2p$ nên $x+y=p$
Nên $p(p-1)=2(y-x)p \Rightarrow 2(y-x)=p-1$ suy ra $2(p-2x)=p-1 \Rightarrow 2p-4x=p-1 \Rightarrow p+1=4x \Rightarrow x=\dfrac{p+1}{4}$ thay vào $p+1=\left(\dfrac{p+1}{4}\right)^2$ giải pt bậc hai ra nghiệm $x=2,y=5$ và suy ra $p=7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 18-05-2015 - 19:37