Chủ đề này có 2 trả lời

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Bài 1: Cho $x^n-a\in F[x]$ là irreducible. Nếu $k \mid n$, $k>1$, hỏi $x^k-a$ có irreducible ko? 

 

Bài 2: Cho $f(x)\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$ với $p$ nguyên tố. CMR: $f(x^p)=f(x)^p$.

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 13-05-2015 - 15:47

[fghost]

1. Nhận xét, nếu $X^{dk}-a$ irreducible, thì $X^d-a$ và $X^k-a$ đều là irreducible. Lý do? Ta thấy $X^{dk}-a=(X^d)^k-a=(X^k)^d-a$. Nếu $X^d-a=g(X)h(X)$ sao cho $X^d-a$ reducible, thì $X^{dk}-a=g(X^k)h(X^k)$ sẽ làm cho $X^{dk}-a$ reducible.

 

Áp dụng nhận xét trên, ta có $X^k-a$ phải là irreducible.

 

2. Quy nạp trên degree của $f$. Nếu $f=c \in Z/pZ$, ta thấy $c^p \equiv c \text{ mod } p$, nên đpcm đúng ở degree $0$.

 

Nếu $f=c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1}+ \dots+ c_1X+c= Xg(X)+ c$ với $g(X)=c_nX^{n-1} + c_{n-1}X^{n-2}+ \dots+ c_1$, và ta có $g^p=g(X^p)$. Nhận xét

$$f^p=(Xg+c)^p=\sum_{i=0}^{p}\binom{p}{i}(Xg)^ic^{p-i}$$

và vì $p | \binom{p}{i}$ ngoại trừ $i=0, i=p$, nên ta có

$$f^p=(Xg)^p+ c^p = X^pg^p+c^p=X^pg(X^p)+c= f(X^p) \in Z/pZ[X]$$

[KoBietDatTenSaoChoHot]

1. Nhận xét, nếu $X^{dk}-a$ irreducible, thì $X^d-a$ và $X^k-a$ đều là irreducible. Lý do? Ta thấy $X^{dk}-a=(X^d)^k-a=(X^k)^d-a$. Nếu $X^d-a=g(X)h(X)$ sao cho $X^d-a$ reducible, thì $X^{dk}-a=g(X^k)h(X^k)$ sẽ làm cho $X^{dk}-a$ reducible.

 

Áp dụng nhận xét trên, ta có $X^k-a$ phải là irreducible.

 

2. Quy nạp trên degree của $f$. Nếu $f=c \in Z/pZ$, ta thấy $c^p \equiv c \text{ mod } p$, nên đpcm đúng ở degree $0$.

 

Nếu $f=c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1}+ \dots+ c_1X+c= Xg(X)+ c$ với $g(X)=c_nX^{n-1} + c_{n-1}X^{n-2}+ \dots+ c_1$, và ta có $g^p=g(X^p)$. Nhận xét

$$f^p=(Xg+c)^p=\sum_{i=0}^{p}\binom{p}{i}(Xg)^ic^{p-i}$$

và vì $p | \binom{p}{i}$ ngoại trừ $i=0, i=p$, nên ta có

$$f^p=(Xg)^p+ c^p = X^pg^p+c^p=X^pg(X^p)+c= f(X^p) \in Z/pZ[X]$$

 

Awesome, fghost. Cảm ơn bạn nhiều.