Chủ đề này có 3 trả lời

[Takamina Minami]

cho a,b,c > 0 a+b+c=3 CMR : 

         $\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{b^{2}+c+a}+\frac{1}{c^{2}+a+b}\geq 1$

[vda2000]

cho a,b,c > 0 a+b+c=3 CMR : 

         $\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{b^{2}+c+a}+\frac{1}{c^{2}+a+b}\leq 1$

Mình nghĩ là max

Ta có: $\frac{1}{a^2+b+c}=\frac{1}{a^2-a+3}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{a^2-a+3}\leq \frac{-1}{9}(a-1)+\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow (3-a)(a-1)^2\geq 0$ (Đúng vì từ gt suy ra $a<3$)

Tương tự $2$ cái cộng lại có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 13-05-2015 - 22:33

[the man]

Mình nghĩ là max

Ta có: $\frac{1}{a^2+b+c}=\frac{1}{a^2-a+3}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{1}{a^2-a+3}\leq \frac{-1}{9}(a-1)+\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow (3-a)(a-1)^2\geq 0$ (Đúng vì từ gt suy ra $a<3$)

Tương tự $2$ cái cộng lại có đpcm

Hoặc là:

Theo Cauchy-Schwarz:

 $(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2=9\Rightarrow \frac{1}{a^2+b+c}\leq \frac{1+b+c}{9}$

Tương tự với 2 biểu thức còn lại rồi cộng lại ta có đpcm

[Nhok Tung]

Ta có $\left ( a^{2}+b+c \right )\left ( 1+b+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}=9$

suy ra $\frac{1}{a^{2}+b+c}\leq \frac{1+b+c}{9}$

Tương tự, cộng vế theo vế được dpcm