2 replies to this topic

[raquaza]

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $2(x+y)+7z=xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2x+y+2z$

[Pham Quoc Thang]

Theo bất đẳng thức Cauchy suy rộng,ta có:
$2.x+\frac{10}{3}.\frac{3y}{5}+\frac{14}{3}.\frac{3z}{2} \geq (2+\frac{10}{3}+\frac{14}{3}).[x^2.(\frac{3y}{5})^\frac{10}{3}.(\frac{3z}{2})^\frac{14}{3}]^{\frac{1}{2+\frac{10}{3}+\frac{14}{3}}} =10[x^2.(\frac{3y}{5})^\frac{10}{3}.(\frac{3z}{2})^\frac{14}{3}]^\frac{1}{10}$
Do $2(x+y)+7z=xyz$ nên $x^\frac{4}{5}.y^\frac{2}{3}.z^\frac{8}{15} \geq 2^\frac{8}{15}.3^\frac{4}{5}.5^\frac{2}{3} $
Suy ra:$x^\frac{2}{5}.y^\frac{1}{3}.z^\frac{4}{15} \geq 2^\frac{4}{15}.3^\frac{2}{5}.5^\frac{1}{3}$
Mặt khác:Theo Cauchy suy rộng ta có: $P=2.x+\frac{5}{3}.\frac{3y}{5}+\frac{4}{3}.\frac{3z}{2} \geq (2+\frac{5}{3}+\frac{4}{3}).[x^2.(\frac{3y}{5})^\frac{5}{3}.(\frac{3z}{2})^\frac{4}{3}]^{\frac{1}{2+\frac{5}{3}+\frac{4}{3}}}=5.[x^2.(\frac{3y}{5})^\frac{5}{3}.(\frac{3z}{2})^\frac{4}{3}]^\frac{1}{5}=\frac{3^\frac{3}{5}.5^\frac{2}{3}}{2^\frac{4}{15}}.(x^\frac{2}{5}.y^\frac{1}{3}.z^\frac{4}{15}) \geq  2^\frac{4}{15}.3^\frac{2}{5}.5^\frac{1}{3}.\frac{3^\frac{3}{5}.5^\frac{2}{3}}{2^\frac{4}{15}}=15$
Dấu "=" xảy ra khi $x=3;y=5;z=2$

[Pham Quoc Thang]

Bạn có thể tham khảo những dạng bài như vậy trong file này

Attached Files

•  VNMATH.COM-Can -Bang-He-So-Trong-BDT-Cosi.pdf   699.62KB   75 downloads