Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức

$\frac{ka}{a^{2}+1}+\frac{5(a^{2}+1)}{2a}\geq \frac{10+k}{2}$ đúng với mọi số dương a

P/s:em xin lỗi vì có chỉnh lại đề ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 14-05-2015 - 15:17

[Nguyen Minh Hai]

Chứng minh rằng với mọi số $a>0$ ta có

$\frac{10a}{a^{2}+1}+\frac{5(a^{2}+1)}{2a}\geq 10$

$AM-GM$ ta có:

$\frac{10a}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a} \geq 2\sqrt{\frac{10.5}{2}}=10$

Xảy ra dấu $=$ khi $a=1$

[anh1999]

Tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức

$\frac{ka}{a^{2}+1}+\frac{5(a^{2}+1)}{2a}\geq \frac{10+k}{2}$ đúng với mọi số dương a

P/s:em xin lỗi vì có chỉnh lại đề ạ

ta có bdt <=>$k(\frac{a}{a^2+1}-\frac{1}{2})+5(\frac{a^2+1}{2a}-1)\geq 0$

<=>$k\frac{2a-a^2-1}{2(a^2+1)}+5\frac{a^2+1-2a}{2a}=(a-1)^2(\frac{5}{2a}-\frac{k}{2(a^2+1)})\geq 0$

<=>$\frac{(a-1)^2}{2a(a^2+1)}(5a^2-ak+5)\geq 0$

ycbt <=> $(5a^2-ak+5)\geq 0$ (1)với $\forall a>0$

ta có 2 th TH1 (1)>0 với $\forall a\epsilon \mathbb{R}$ 

<=>$\Delta \leq 0$<=>$-10\leq $k$\leq 10$(*)

TH2(1) có 2 nghiệm $a_{1};a_{2}\leq 0$

$\left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ a_1+a_2<0 \\ a_1a_2\geq 0 \end{matrix}\right.$

<=>k<-10(**)

khi đó hiển nhiên a nằm ngoài khoảng 2 nghiệm nên (1)>0

từ (*)và (**) => k max = 10

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 19-05-2015 - 13:57