Thêm hai bài nữa về số nguyên tố khá khó gặm
3. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại số tự nhiên x,y thỏa $x^3+y^3=p^n$ $(1)$
4. Cho $m=\frac{9^p-1}{8}$ . Chứng minh m là hợp số lẻ và $3^{m-1}\equiv 1(mod 3)$
3. Xét:
TH1: $p=2$ thì ta có tập nghiệm $(x;y;n)=(1;1;1)$ thoả mãn
TH2: $p=3$ thì ta có tập nghiệm $(x;y;n)=(1;2;2)$ thoả mãn
TH3: $p>3$
$(1)\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=p^{n}\rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=p^{a} & \\ x^{2}-xy+y^{2}=p^{b} & \end{matrix}\right.(a,b\epsilon N;a+b=n)$ (vì $x+y>1$;$ x^{2}-xy+y^{2}>1$ nên ta đặt được ẩn như bên)
Ta có:$p^{b}=x^{2}-xy+y^{2}=(x+y)^{2}-3xy\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3xy\vdots p & \\ (p;3)=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow xy\vdots p\Rightarrow \begin{bmatrix} x\vdots p & \\ y\vdots p & \end{bmatrix}(*)$
Mà $p^{a}=x+y\Rightarrow x+y\vdots p(**)$
Từ $(*)(**)$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots p & \\ y\vdots p & \end{matrix}\right.$
Đặt $x=pk_{1};y=pk_{2}(k_{1},k_{2}\epsilon N)$
Phương trình $(1)$ trở thành $p^{3}k_{1}^{3}+p^{3}k_{2}^{3}=p^{n}\Rightarrow p\geq 3\Leftrightarrow k_{1}^{3}+k_{2}^{3}=p^{n-3}$
Do đó tập $(k_{1};k_{2};n-3)$ vẫn thoả mãn đề bài mà $n-3<n$ trái với cách chọn $n$(mâu thuẫn).Vậy $p>3$ không thoả mãn
Kết luận: Có 2 giá trị $p$ cần tìm là $p=2$ hoặc $p=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 13-06-2015 - 22:03