Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một Số Bổ Đề, Định lý Số Học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 33 trả lời

#1 AnhNgoc030201

AnhNgoc030201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vinh

Đã gửi 14-05-2015 - 17:50

Ở đây xin được hệ thống lại một số bổ đề, định lý số học thông dụng được sử dụng trong giải phương trình nghiệm nguyên, chứng minh

 

các vấn đề số học.... Nhờ các anh chị, các bạn trên $VMF$ hãy đóng góp để topic được thành công.Mỗi bổ đề,định lý đưa ra cần kèm

 

theo một số bài tập áp dụng. Mình bắt đầu với 1 bổ đề quen thuộc của THCS:

 

Bổ đề 1: Cho p là các số nguyên tố dạng $4k+3$ . Nếu $a^2+b^2$ chia hết cho $p$  thì cả a và b đều chia hết cho $p$

 

$+)$ Gợi ý chứng minh:  Sử dụng định lý fermat nhỏ đề phản chứng

 

$+)$ Bài tập vận dụng:  1.1. Giải phương trình nghiệm nguyên  $x^2+y^3=7$

                    

                                       1.2. Chứng minh phương trình $4xy-x-y=z^2$  không có nghiệm nguyên

 

 

 



#2 AnhNgoc030201

AnhNgoc030201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vinh

Đã gửi 15-05-2015 - 22:38

Mọi người giới thiệu cho mình bổ đề LTE và một số bài tập ứng dụng với ạ. Thks nhiều ạ.



#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 16-05-2015 - 07:50

Bổ đề 1: Cho p là các số nguyên tố dạng $4k+3$ . Nếu $a^2+b^2$ chia hết cho $p$  thì cả a và b đều chia hết cho $p$

 

$+)$ Gợi ý chứng minh:  Sử dụng định lý fermat nhỏ đề phản chứng

 

$+)$ Bài tập vận dụng:  1.1. Giải phương trình nghiệm nguyên  $x^2+y^3=7$

                    

                                       1.2. Chứng minh phương trình $4xy-x-y=z^2$  không có nghiệm nguyên

về phần này tài liệu có thể tham khảo thêm ở hai tài liệu sau

File gửi kèm  bổ đề tổng bình phương và số nguyên tố.pdf   176.79K   1872 Số lần tải

File gửi kèm  ứng dụng 1 mệnh đề vào số học.pdf   165.31K   1393 Số lần tải

 

Mọi người giới thiệu cho mình bổ đề LTE và một số bài tập ứng dụng với ạ. Thks nhiều ạ.

File gửi kèm  LTE.pdf   2.74MB   5904 Số lần tải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 16-05-2015 - 07:50

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#4 buivantuanpro123

buivantuanpro123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không tồn tại
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 16-05-2015 - 15:21

bạn có chuyên đề phần nguyên( nếu được thì mong có đầy đủ các tính chất của phần nguyên và có chứng minh thì tốt) không.Nếu có thì chia sẻ cho mọi người cùng tham khảo.Thanks



#5 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 16-05-2015 - 15:35

bạn có chuyên đề phần nguyên( nếu được thì mong có đầy đủ các tính chất của phần nguyên và có chứng minh thì tốt) không.Nếu có thì chia sẻ cho mọi người cùng tham khảo.Thanks

các tính chất bạn có thể tham khảo thêm ở số $449/THTT$ $($ nói về phần nguyên $)$ và $450/THTT$ $($ nói về phần lẻ $)$

File gửi kèm  phần nguyên.pdf   228.87K   783 Số lần tải


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#6 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 18-05-2015 - 15:58

Ngoài file LTE thì 3 file còn lại sao em ko tải được anh ạ

 

về phần này tài liệu có thể tham khảo thêm ở hai tài liệu sau

attachicon.gifbổ đề tổng bình phương và số nguyên tố.pdf

attachicon.gifứng dụng 1 mệnh đề vào số học.pdf

 

attachicon.gifLTE.pdf


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#7 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 18-05-2015 - 16:11

1 chuyên đề khá hay

File gửi kèm


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#8 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 18-05-2015 - 17:15

Ngoài file LTE thì 3 file còn lại sao em ko tải được anh ạ

em xem lại thử anh thấy vẫn bình thường mà

 

@Anh: chú coi sao chứ k tải được thật

@NTP:chịu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 20-05-2015 - 18:32

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#9 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 20-05-2015 - 18:10

Cho em hỏi phát biểu của định lý Zsigmondy được không ạ


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#10 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 20-05-2015 - 18:37

Cho em hỏi phát biểu của định lý Zsigmondy được không ạ

$\blacksquare$ Dạng 1

với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n-b^n\\p\not | a^k-b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$

$($ trừ trường hợp $2^6-1^6$ và $a^2-b^2$ với $a+b$ là một lũy thừa của $2$ $)$

$\blacksquare$ Dạng 2

với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n+b^n\\p\not | a^k+b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$

$($ trừ trường hợp $2^3+1^3$ $)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 20-05-2015 - 18:38

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#11 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 20-05-2015 - 18:53

$\blacksquare$ Dạng 1

với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n-b^n\\p\not | a^k-b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$

$($ trừ trường hợp $2^6-1^6$ và $a^2-b^2$ với $a+b$ là một lũy thừa của $2$ $)$

$\blacksquare$ Dạng 2

với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n+b^n\\p\not | a^k+b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$

$($ trừ trường hợp $2^3+1^3$ $)$

 

Anh có tài liệu nào về nó không


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#12 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 20-05-2015 - 18:55

Anh có tài liệu nào về nó không

không có rõ em,được đôi ba bài cho ví dụ thôi


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#13 toanc2tb

toanc2tb

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\large \mathfrak{\text{Mathematic}}$

Đã gửi 03-06-2015 - 20:20

1 chuyên đề khá hay

 

Em tải về nhưng sao không đọc được vậy anh? :(


"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)

"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"   :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :oto:  :oto:  


#14 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 10-06-2015 - 08:31

Có 2 bài này ghi lên đây hỏi luôn:

 

1. Cho $p,q$ là các số nguyên tố thỏa mãn $p-1$ chia hết cho q và $q^3-1$  chia hết cho p. Chứng minh $p+q$ là số chính phương

 

2. Cho $a,b$ là hai số nguyên dương, p là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $a^p-b^p$ chia hết cho $p$ thì nó cũng chia hết cho $p^2$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#15 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 13-06-2015 - 13:26

Chém bài dễ trước :)) bài trên khó quá -_-

Bài 2.

Xét $p=2$ thì $a-b,a+b$ cùng chẵn nên $4\mid (a-b)(a+b)$

Xét $p>2$:

Nếu $p\mid a\Rightarrow p\mid a^n$ nên $p\mid b^n\Rightarrow p\mid b$

Do đó $p^p\mid a^p-b^p$

Nếu $p\nmid a,b$ thì $(a,p)=(b,p)=1$ nên theo định lý Fermat nhỏ: $a^p\equiv a\pmod{p}$ và $b^{p}\equiv b\pmod{p}$

Khi đó $a^p-b^p\equiv a-b\equiv 0\pmod{p}$ nên $p\mid a-b$

Theo định lý LTE $v_p\left(a^p-b^p\right) = v_p(a-b)+v_p(p)\geqslant 2$

Ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 13-06-2015 - 13:35

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#16 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 13-06-2015 - 18:24

Thêm hai bài nữa về số nguyên tố khá khó gặm :angry:

 

3. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại số tự nhiên x,y thỏa $x^3+y^3=p^n$

 

4. Cho $m=\frac{9^p-1}{8}$ . Chứng minh m là hợp số lẻ và $3^{m-1}\equiv 1(mod 3)$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#17 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 13-06-2015 - 19:02

Thêm hai bài nữa về số nguyên tố khá khó gặm :angry:

 

4. Cho $m=\frac{9^p-1}{8}$ . Chứng minh m là hợp số lẻ và $3^{m-1}\equiv 1(mod 3)$

Giải : Ta có : $m=\frac{3^{p}-1}{2}.\frac{3^{p}+1}{4}$
Dễ thấy $\frac{3^{p}-1}{2}$ và $\frac{3^{p}+1}{4}$ đều là các số nguyên dương lớn hơn $1$ nên $m$ là hợp số .
$m=\frac{9^{p}-1}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+...+9+1$
$\Rightarrow m\equiv 1 (\mod3)$
Với $p=2$ ta thấy thỏa mãn . Nên xét $p$ là số nguyên tố lớn hơn 2 ,tức $p$ là số nguyên tố lẻ nên $p-1$ chẵn
Khi đó $m=9^{p-1}+...+9^{2}+9=(9^{p-1}+9^{p-2})+...+(9^{2}+9)+1$
Rõ ràng mỗi tổng trong dấu ngoặc đều có chữ số tận cùng là $0$, do đó $m$ có tận cùng là $1$ nên $m$ là số lẻ 
Theo Fermat nhỏ : $9^{p}-9\vdots p$ . Lại có $9^{p}-9\vdots 8$
$\Rightarrow m-1=\frac{9^{p}-9}{8}\vdots p$
Do $m$ lẻ nên $m-1$ chẵn , mà $(p,2)=1$ nên $m-1\vdots 2p$
$\Rightarrow 3^{m-1}-1\vdots (3^{2p}-1)\Rightarrow 3^{m-1}-1\vdots m$ $\Rightarrow 3^{m-1}\equiv 1(\mod m)$ $\square$


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#18 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 13-06-2015 - 22:01

Thêm hai bài nữa về số nguyên tố khá khó gặm :angry:

 

3. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại số tự nhiên x,y thỏa $x^3+y^3=p^n$   $(1)$

 

4. Cho $m=\frac{9^p-1}{8}$ . Chứng minh m là hợp số lẻ và $3^{m-1}\equiv 1(mod 3)$

3.  Xét:

TH1: $p=2$ thì ta có tập nghiệm $(x;y;n)=(1;1;1)$ thoả mãn

TH2: $p=3$ thì ta có tập nghiệm $(x;y;n)=(1;2;2)$ thoả mãn

TH3: $p>3$ 

$(1)\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=p^{n}\rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=p^{a} & \\ x^{2}-xy+y^{2}=p^{b} & \end{matrix}\right.(a,b\epsilon N;a+b=n)$ (vì $x+y>1$;$ x^{2}-xy+y^{2}>1$ nên ta đặt được ẩn như bên)

Ta có:$p^{b}=x^{2}-xy+y^{2}=(x+y)^{2}-3xy\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3xy\vdots p & \\ (p;3)=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow xy\vdots p\Rightarrow \begin{bmatrix} x\vdots p & \\ y\vdots p & \end{bmatrix}(*)$

Mà $p^{a}=x+y\Rightarrow x+y\vdots p(**)$ 

Từ $(*)(**)$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots p & \\ y\vdots p & \end{matrix}\right.$

Đặt $x=pk_{1};y=pk_{2}(k_{1},k_{2}\epsilon N)$

Phương trình $(1)$ trở thành $p^{3}k_{1}^{3}+p^{3}k_{2}^{3}=p^{n}\Rightarrow p\geq 3\Leftrightarrow k_{1}^{3}+k_{2}^{3}=p^{n-3}$

Do đó tập $(k_{1};k_{2};n-3)$ vẫn thoả mãn đề bài mà $n-3<n$ trái với cách chọn $n$(mâu thuẫn).Vậy $p>3$ không thoả mãn

Kết luận: Có 2 giá trị $p$ cần tìm là $p=2$ hoặc $p=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 13-06-2015 - 22:03


#19 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 18-06-2015 - 16:28

Tìm a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2 \mid abc+1$.


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#20 Mosses William Tran

Mosses William Tran

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lam Sơn
  • Sở thích:Rất thích xem Real đá

Đã gửi 30-06-2015 - 16:31

Bài 1 dễ nhất : Ta có $q^{3} - 1 = (q-1)(q^{2}+q+1)$ chia hết cho p. 

+) Xét q - 1 chia hết cho p suy ra q > p. Mặt khắc p - 1 chia hết cho q suy ra p > q (mâu thuẫn )

+) Xét $q^{2}+q+1 = p$ suy ra $(q+1)^{2}$ = p + q suy ra p + q là số chính phương.

+) Xét $q^{2}+q+1 > p$ và $q^{2}+q+1$ chia hết cho p suy ra p < $\sqrt{q^{2}+q+1}$ nên p < q+1. Vô lí vì p - 1 chia hết cho q nên p lớn hơn hoặc bằng q+1. 

 

Vậy p + q là số chính phương 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh