Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$(a+b+c)^{5}\geq 81(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 14-05-2015 - 19:38

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

a. $6561(\sqrt[8]{\frac{a^{8}+b^{8}}{2}}+\sqrt[8]{\frac{b^{8}+c^{8}}{2}}+\sqrt[8]{\frac{c^{8}+a^{8}}{2}})\leq (a+b+c)^{5}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{4}$

b. $(a+b+c)^{5}\geq 81(a^{2}+b^{2}+c^{2})$  (với $abc=1$)


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#2 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 14-05-2015 - 21:15

b.Chắc là bạn muốn chứng minh BĐT này đây:

$(a+b+c)^5\geq 81abc(a^2+b^2+c^2)$

 

Giả sử rằng $c=min${$a,b,c$} thế thì ta có:

 

$8abc(a^2+c^2)\leq c(a+b)^4(AM-GM)$ và $8abc^3\leq 2c^3(a+b)^2$

 

Cộng 2 BĐT trên thì ta có:$8abc(a^2+b^2+c^2)\leq c(a+b)^4+2c^3(a+b)^2$

Vậy ta sẽ đi chứng minh:

$8(a+b+c)^5\geq 81c(a+b)^2[(a+b)^2+2c^2]$

 

Đây là BĐT thuần nhất nên chứng minh chuẩn hóa $a+b+c$ hay $a+b$ để chứng minh nhưng có lẽ chuẩn hóa $a+b+c$ thì tính toán sẽ gọn hơn.(tận dụng đc giả sử c=min)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 14-05-2015 - 21:15

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#3 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 19-05-2015 - 01:27

phần b có cách khác như sau ta chỉ cần cm đc $(a+b+c)^6>=81(abc)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ do $3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2$ nên ta cm 
$27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \leq (a+b+c)^6$ , hiển nhiên đúng do nếu đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ thì bđt tương đương $(x+y+y)^3\geq 27x.y.y$ theo am gm đúng 

phần a thì nhìn có vẻ khó nhưng thực chất ko quá khó như mình nghĩ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 19-05-2015 - 08:52





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh