Chủ đề này có 2 trả lời

[khanghaxuan]

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng : 

a. $6561(\sqrt[8]{\frac{a^{8}+b^{8}}{2}}+\sqrt[8]{\frac{b^{8}+c^{8}}{2}}+\sqrt[8]{\frac{c^{8}+a^{8}}{2}})\leq (a+b+c)^{5}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{4}$

b. $(a+b+c)^{5}\geq 81(a^{2}+b^{2}+c^{2})$  (với $abc=1$)

[binhnhaukhong]

b.Chắc là bạn muốn chứng minh BĐT này đây:

$(a+b+c)^5\geq 81abc(a^2+b^2+c^2)$

 

Giả sử rằng $c=min${$a,b,c$} thế thì ta có:

 

$8abc(a^2+c^2)\leq c(a+b)^4(AM-GM)$ và $8abc^3\leq 2c^3(a+b)^2$

 

Cộng 2 BĐT trên thì ta có:$8abc(a^2+b^2+c^2)\leq c(a+b)^4+2c^3(a+b)^2$

Vậy ta sẽ đi chứng minh:

$8(a+b+c)^5\geq 81c(a+b)^2[(a+b)^2+2c^2]$

 

Đây là BĐT thuần nhất nên chứng minh chuẩn hóa $a+b+c$ hay $a+b$ để chứng minh nhưng có lẽ chuẩn hóa $a+b+c$ thì tính toán sẽ gọn hơn.(tận dụng đc giả sử c=min)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 14-05-2015 - 21:15

[cachuoi]

phần b có cách khác như sau ta chỉ cần cm đc $(a+b+c)^6>=81(abc)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ do $3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2$ nên ta cm 
$27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \leq (a+b+c)^6$ , hiển nhiên đúng do nếu đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ thì bđt tương đương $(x+y+y)^3\geq 27x.y.y$ theo am gm đúng 

phần a thì nhìn có vẻ khó nhưng thực chất ko quá khó như mình nghĩ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 19-05-2015 - 08:52