501 replies to this topic

[dogsteven]

Bài 167(China TST): Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm GTNN của biểu thức sau:

                              P=$\frac{1}{(b-1)^2+a^2}+\frac{1}{(b-1)^2+c^2}$

Đề có thể sai chăng? Hiển nhiên $P\geqslant 1$, đẳng thức khi $a-1=b=c-1=0$

TST không thể dễ đến vậy

Edited by dogsteven, 02-07-2015 - 15:28.

[dangkhuong]

Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:

P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$

Edited by dangkhuong, 02-07-2015 - 15:47.

[NguyenDangHuyYTNA]

Bài 169: Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh: 

$2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)(xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}+xyz) \leq (x^{2}+y^{2}+z^{2}+3xyz)^{2}$

[dangkhuong]

Bài 170(Brazil MO): Cho a,b,c>0. CMR: nếu a+b+c=3 thì

$\sum \frac{2a^2+bc^2}{7a^2+10ab+b^2}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}$

Edited by dangkhuong, 03-07-2015 - 14:34.

[an1712]

Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:

P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$

  ta có;$a+b+c=2(ab+bc+ac)\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2\Leftrightarrow \frac{3}{2}\leq (a+b+c)$

  giả sử :

      $a\geq c\geq b$  $\Leftrightarrow$ $a\geq \frac{1}{2}$

$a+b-ab=2c(a+b-\frac{1}{2})+ab> 0$

$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+3$

xét hiệu:

$\frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^3-b^2}{b^2+c^2}\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}$

 

$\Leftrightarrow (a^3-a^2)(\frac{c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)})+(b^3-b^2)(\frac{b^2-c^2}{2b^2(b^2+c^2)})\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^3-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq \frac{b^3-b^2}{2b^2(b^2+c^2)}=\frac{b-1}{2(b^2+c^2)}$

 

$\Leftrightarrow 2(a^3b^2+a^3c^2)+a^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq a^4b+b^3a^2+a^2c^2b+b^3c^2+2(a^2b^2+a^2c^2)$

 

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2b^2+2a^2c^2+b^2c^2+(a+b-ab)(a^2-c^2))\geq 0$

  

$P\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^3-c^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}+3\geq \frac{a^3+c^3}{a^2+c^2}+\frac{b}{2}+\frac{3}{2}$

lại có:

$a^3+c^3\geq ac(a^2+c^2)\Leftrightarrow 2(a^3+c^3)\geq (a+c)(a^2+c^2)\Leftrightarrow a^3+c^3\geq \frac{(a+c)(a^2+c^2)}{2}$

 

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{a}{2}+\frac{3}{2}\geq \frac{9}{4}$

Edited by an1712, 03-07-2015 - 21:09.

[Hoang Tung 126]

 Dạo này TOPIC ít người tham gia vậy ,vẫn những bài toán từ hôm trước

[dangkhuong]

Sau đây xin khởi động lại Topic bằng 1 bài mới

Bài 171(Baltic Way Shortlist): Cho a,b,c>0:$ab+bc+ca$$=$$\frac{3}{4}$. CMR:Với mọi $a+b+c$ khác $\frac{1}{24}$

 

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$

Edited by dangkhuong, 09-07-2015 - 14:31.

[dangkhuong]

Bài 172(Balkan Shortlist): CMR:

$\frac{1}{\sqrt{2!}}+\frac{1}{2\sqrt[3]{3!}}+\frac{1}{3\sqrt[4]{4!}}+...+\frac{1}{2015\sqrt[2016]{2016}}<\frac{3}{2}$

[Thao Huyen]

Bài 153: (Việt Nam TST 2005) 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3 \geq \frac{3}{8}$

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.

[VuHongQuan]

bài 153 : ta có $(a+b)^3\leq 4(a^3+b^3)$ (cái này chắc ai cũng biết , biến đổi tương đương )

tương tự :$(b+c)^3\leq 4(b^3+c^3)\\(c+a)^3\leq 4(c^3+a^3)\\\Rightarrow VT\geq \frac{1}{4}(\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{a^3+c^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3})\geq \frac{3}{8}$

(BĐT nesbitt) . OK

[hoilamchi]

Đây là file tổng hợp các BĐT từ đầu topic đến bây giờ 

http://www.mediafire...ality_in_MO.pdf

Mong các bạn tiếp tục tham gia tích cực nữa nhé ! Thân 

Không tổng hợp nữa hả anh? 

[khanghaxuan]

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.

Chào bạn , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé

[an1712]

Chào bạn , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé

a ko tổng hợp tiếp ạ

[khanghaxuan]

a ko tổng hợp tiếp ạ

Thực tế là mình nhờ bạn khác tổng hợp zồi mà mấy bữa nay không thấy tâm hơi đâu cả 

[dangkhuong]

Thực tế là mình nhờ bạn khác tổng hợp zồi mà mấy bữa nay không thấy tâm hơi đâu cả 

Buồn quá toàn bài của mình   

Edited by khanghaxuan, 06-08-2015 - 16:28.

[hoctrocuaHolmes]

Vực topic dậy nào 

Bài 173:(China Girls Math Olympiad)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm Min của:

$ \frac {a + 3c}{a + 2b + c} + \frac {4b}{a + b + 2c} - \frac {8c}{a + b + 3c}.$

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$

Edited by votruc, 08-08-2015 - 10:07.

[nangcuong8e]

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$

 Ta có: $u\sqrt{vw} +v\sqrt{uw} +w\sqrt{vu} \geq 1 \Leftrightarrow u(v+w) +v(w+u) +w(u+v) \geq 2$

$\Rightarrow 3(uv +vw +wu) \geq 3$

 Mà $(u+v+w)^2 \geq 3(uv +vw +wu) \geq 3$ nên $u +v +w \geq \sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $u=v=w = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Edited by nangcuong8e, 08-08-2015 - 10:35.

[hoctrocuaHolmes]

Cách khác cho bài 174:

Đặt $u\sqrt{vw}=a;v\sqrt{uw}=b;w\sqrt{uv}=c\Leftrightarrow u=\frac{a^{2}}{\sqrt{abc}};v=\frac{b^{2}}{\sqrt{abc}};w=\frac{c^{2}}{\sqrt{abc}}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 1 & \\ u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có 

$u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{9.\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[dangkhuong]

Cách khác cho bài 174:

Đặt $u\sqrt{vw}=a;v\sqrt{uw}=b;w\sqrt{uv}=c\Leftrightarrow u=\frac{a^{2}}{\sqrt{abc}};v=\frac{b^{2}}{\sqrt{abc}};w=\frac{c^{2}}{\sqrt{abc}}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 1 & \\ u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có 

$u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{9.\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}$

sao chị nghĩ ra cách đặt như thế, cho em tham khảo tài liệu phát

[khanghaxuan]

sao chị nghĩ ra cách đặt như thế, cho em tham khảo tài liệu phát

Cái cách đặt thế thì hình như chẳng có tài liệu đâu bạn . Đó thuộc về kĩ năng và sự nhạy cảm thôi bạn .