Chủ đề này có 501 trả lời

[dogsteven]

Bài 167(China TST): Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm GTNN của biểu thức sau:

                              P=$\frac{1}{(b-1)^2+a^2}+\frac{1}{(b-1)^2+c^2}$

Đề có thể sai chăng? Hiển nhiên $P\geqslant 1$, đẳng thức khi $a-1=b=c-1=0$

TST không thể dễ đến vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 02-07-2015 - 15:28

[dangkhuong]

Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:

P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 02-07-2015 - 15:47

[NguyenDangHuyYTNA]

Bài 169: Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh: 

$2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)(xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}+xyz) \leq (x^{2}+y^{2}+z^{2}+3xyz)^{2}$

[dangkhuong]

Bài 170(Brazil MO): Cho a,b,c>0. CMR: nếu a+b+c=3 thì

$\sum \frac{2a^2+bc^2}{7a^2+10ab+b^2}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 03-07-2015 - 14:34

[an1712]

Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:

P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$

  ta có;$a+b+c=2(ab+bc+ac)\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2\Leftrightarrow \frac{3}{2}\leq (a+b+c)$

  giả sử :

      $a\geq c\geq b$  $\Leftrightarrow$ $a\geq \frac{1}{2}$

$a+b-ab=2c(a+b-\frac{1}{2})+ab> 0$

$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+3$

xét hiệu:

$\frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^3-b^2}{b^2+c^2}\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}$

 

$\Leftrightarrow (a^3-a^2)(\frac{c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)})+(b^3-b^2)(\frac{b^2-c^2}{2b^2(b^2+c^2)})\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^3-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq \frac{b^3-b^2}{2b^2(b^2+c^2)}=\frac{b-1}{2(b^2+c^2)}$

 

$\Leftrightarrow 2(a^3b^2+a^3c^2)+a^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq a^4b+b^3a^2+a^2c^2b+b^3c^2+2(a^2b^2+a^2c^2)$

 

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2b^2+2a^2c^2+b^2c^2+(a+b-ab)(a^2-c^2))\geq 0$

  

$P\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^3-c^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}+3\geq \frac{a^3+c^3}{a^2+c^2}+\frac{b}{2}+\frac{3}{2}$

lại có:

$a^3+c^3\geq ac(a^2+c^2)\Leftrightarrow 2(a^3+c^3)\geq (a+c)(a^2+c^2)\Leftrightarrow a^3+c^3\geq \frac{(a+c)(a^2+c^2)}{2}$

 

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{a}{2}+\frac{3}{2}\geq \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 03-07-2015 - 21:09

[Hoang Tung 126]

 Dạo này TOPIC ít người tham gia vậy ,vẫn những bài toán từ hôm trước

[dangkhuong]

Sau đây xin khởi động lại Topic bằng 1 bài mới

Bài 171(Baltic Way Shortlist): Cho a,b,c>0:$ab+bc+ca$$=$$\frac{3}{4}$. CMR:Với mọi $a+b+c$ khác $\frac{1}{24}$

 

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 09-07-2015 - 14:31

[dangkhuong]

Bài 172(Balkan Shortlist): CMR:

$\frac{1}{\sqrt{2!}}+\frac{1}{2\sqrt[3]{3!}}+\frac{1}{3\sqrt[4]{4!}}+...+\frac{1}{2015\sqrt[2016]{2016}}<\frac{3}{2}$

[Thao Huyen]

Bài 153: (Việt Nam TST 2005) 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3 \geq \frac{3}{8}$

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.

[VuHongQuan]

bài 153 : ta có $(a+b)^3\leq 4(a^3+b^3)$ (cái này chắc ai cũng biết , biến đổi tương đương )

tương tự :$(b+c)^3\leq 4(b^3+c^3)\\(c+a)^3\leq 4(c^3+a^3)\\\Rightarrow VT\geq \frac{1}{4}(\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{a^3+c^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3})\geq \frac{3}{8}$

(BĐT nesbitt) . OK

[hoilamchi]

Đây là file tổng hợp các BĐT từ đầu topic đến bây giờ 

http://www.mediafire...ality_in_MO.pdf

Mong các bạn tiếp tục tham gia tích cực nữa nhé ! Thân 

Không tổng hợp nữa hả anh? 

[khanghaxuan]

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.

Chào bạn , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé

[an1712]

Chào bạn , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé

a ko tổng hợp tiếp ạ

[khanghaxuan]

a ko tổng hợp tiếp ạ

Thực tế là mình nhờ bạn khác tổng hợp zồi mà mấy bữa nay không thấy tâm hơi đâu cả 

[dangkhuong]

Thực tế là mình nhờ bạn khác tổng hợp zồi mà mấy bữa nay không thấy tâm hơi đâu cả 

Buồn quá toàn bài của mình   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 06-08-2015 - 16:28

[hoctrocuaHolmes]

Vực topic dậy nào 

Bài 173:(China Girls Math Olympiad)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm Min của:

$ \frac {a + 3c}{a + 2b + c} + \frac {4b}{a + b + 2c} - \frac {8c}{a + b + 3c}.$

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 08-08-2015 - 10:07

[nangcuong8e]

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$

 Ta có: $u\sqrt{vw} +v\sqrt{uw} +w\sqrt{vu} \geq 1 \Leftrightarrow u(v+w) +v(w+u) +w(u+v) \geq 2$

$\Rightarrow 3(uv +vw +wu) \geq 3$

 Mà $(u+v+w)^2 \geq 3(uv +vw +wu) \geq 3$ nên $u +v +w \geq \sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $u=v=w = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 08-08-2015 - 10:35

[hoctrocuaHolmes]

Cách khác cho bài 174:

Đặt $u\sqrt{vw}=a;v\sqrt{uw}=b;w\sqrt{uv}=c\Leftrightarrow u=\frac{a^{2}}{\sqrt{abc}};v=\frac{b^{2}}{\sqrt{abc}};w=\frac{c^{2}}{\sqrt{abc}}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 1 & \\ u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có 

$u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{9.\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[dangkhuong]

Cách khác cho bài 174:

Đặt $u\sqrt{vw}=a;v\sqrt{uw}=b;w\sqrt{uv}=c\Leftrightarrow u=\frac{a^{2}}{\sqrt{abc}};v=\frac{b^{2}}{\sqrt{abc}};w=\frac{c^{2}}{\sqrt{abc}}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 1 & \\ u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có 

$u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{9.\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}$

sao chị nghĩ ra cách đặt như thế, cho em tham khảo tài liệu phát

[khanghaxuan]

sao chị nghĩ ra cách đặt như thế, cho em tham khảo tài liệu phát

Cái cách đặt thế thì hình như chẳng có tài liệu đâu bạn . Đó thuộc về kĩ năng và sự nhạy cảm thôi bạn .