Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 14 Bình chọn

Topic tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 500 trả lời

#1 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 15-05-2015 - 09:07

Câu 1: Cho các số thực không âm $a,b,c$  thỏa mãn $ab+bc+ca=4$ . CMR:

$\sqrt{a^2+9bc}+\sqrt{b^2+9ac}+\sqrt{c^2+9ab}\geq 10$

Câu 2: Cho các số thực dương $a,b,c$  thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ . CMR:

$\sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq \frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}$ (Iran TST 2012)

Câu 3: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. CMR:

$\frac{1}{a^5(b+2c)^2}+\frac{1}{b^5(c+2a)^2}+\frac{1}{c^5(a+2b)^2}\geq \frac{1}{3}$ (USA TST 2010)

Câu 4: Cho các số thực dương $a,b,c$. CMR:

$\sum _{cyc}\sqrt[4]{\frac{(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)}{2}}\leq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

Câu 5: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sqrt{3a+\frac{1}{b}}+\sqrt{3b+\frac{1}{c}}+\sqrt{3c+\frac{1}{a}}\geq 6$

Câu 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9+3\sqrt[3]{\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{a^2b^2c^2}}$ ( JBMO TST 2015 )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 15-05-2015 - 20:08

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 15-05-2015 - 10:04

Bài 6. $\sum a . \sum \dfrac{1}{a} - 9 =\sum \dfrac{(b-c)^2}{bc}\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac{\prod (b-c)^2}{(abc)^2}}$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 15-05-2015 - 14:46

Câu 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\geq abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$ (BMO 2015)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 15-05-2015 - 14:46

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#4 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 15-05-2015 - 16:02

Bài 4:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\sqrt[4]{\frac{(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)}{2}}\leq \sqrt{\frac{3a^2+3b^2-2ab}{4}}$

Lại áp dụng Cauchy-Schwarz có:

$\sum \sqrt{\frac{3a^2+3b^2-2ab}{4}}\leq \sqrt{\frac{(9a^2+9b^2+9c^2-3ab-3bc-3ac)}{2}} $

Mà $\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)(\sum \frac{1}{a+b})\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Vậy nên ta sẽ chứng minh:

$\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\geq \sqrt{\frac{(9a^2+9b^2+9c^2-3ab-3bc-3ac)}{2}}$

 

Chuẩn hóa $p=a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ac$.Sau khi biến đổi BĐT trên có dạng $24q^2-17q+3\geq 0$.Đúng với $q\leq \frac{1}{3}$


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#5 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 15-05-2015 - 16:11

Câu 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$a^3b^6+b^3c^6+c^3a^6+3a^3b^3c^3\geq abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$ (BMO 2015)

Chia cả 2 vế cho $abc$ và đặt ẩn là được BĐT Schur bậc 3.(BĐT này thực sự rất tệ)


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#6 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 15-05-2015 - 16:12

Chia cả 2 vế cho $abc$ và đặt ẩn là được BĐT Schur bậc 3.(BĐT này thực sự rất tệ)

cũng không phải là tệ,hình như đây là đề thi dành cho cấp lv2,ngangTHCS của nước ta thôi :)


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#7 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 15-05-2015 - 16:22

cũng không phải là tệ,hình như đây là đề thi dành cho cấp lv2,ngangTHCS của nước ta thôi :)

Đề xuất 2 bài của Romania:

 

Câu 7 :  Cho $x,y,z$ thực dương chứng minh rằng:

$\frac{x^3}{z^3+x^2y}+\frac{y^3}{x^3+y^2z}+\frac{z^3}{y^3+z^2x}\geq \frac{3}{2}$

 

Câu 8: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.CMR:

$2(ab+bc+ac)-3abc\geq a\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+b\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}+c\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 15-05-2015 - 20:09

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#8 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 15-05-2015 - 16:24

Đề xuất 2 bài của Romania:

 

1. Cho $x,y,z$ thực dương chứng minh rằng:

$\frac{x^3}{z^3+x^2y}+\frac{y^3}{x^3+y^2z}+\frac{z^3}{y^3+z^2x}\geq \frac{3}{2}$

 

2.Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.CMR:

$2(ab+bc+ac)-3abc\geq a\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+b\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}+c\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

đánh theo số thứ tự cho dễ nhé


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#9 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 15-05-2015 - 18:59

Câu 1: Cho các số thực không âm $a,b,c$  thỏa mãn $ab+bc+ca=4$ . CMR:

$\sqrt{a^2+9bc}+\sqrt{b^2+9ac}+\sqrt{c^2+9ab}\geq 10$

Capture.PNG

 

8.Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.CMR:

$2(ab+bc+ac)-3abc\geq a\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+b\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}+c\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

xem ở đây


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#10 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 15-05-2015 - 19:43

Câu 2. $\sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq \frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}$

    $\Leftrightarrow \sqrt{3}abc(\sum \sqrt{a})\leq \sum a^{2}\sqrt{a}(*)$

   $VT\leq \sqrt{3abc}(ab+ca+ac)=\sqrt{3abc}$

Ta cần chứng minh : $\sqrt{3abc}\leq \sum a^{2}\sqrt{a}$

Ta có : $3(\sum a^{2}\sqrt{a})^{4}\geq ( \sum a^{2})^{5}\geq 1 \Rightarrow (\sum a^{2}\sqrt{a})^{4}\geq \frac{1}{3}$

Nên ta cần chứng minh : $\frac{1}{3}\geq 9a^{2}b^{2}c^{2}$ (luôn đúng )

 

Câu 4 : Ta có : 

$\frac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}{2}=\frac{(a+b+\sqrt{2ab})(a+b-\sqrt{2ab})(a+b+\sqrt{3ab})(a+b-\sqrt{3ab})}{2}$

$\leq (\frac{2(a+b)}{4})^{4}$

Nên suy ra : $\sqrt[4]{\frac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-ab)}{2}}\leq \frac{a+b}{2}$

Lập các BĐT tương tự ta được: $VT\leq a+b+c\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}\leq \frac{2}{3}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{a+b})$

 

Câu 3 :  $\frac{1}{a^{5}(b+2c)^{2}}=\frac{b^{3}c^{3}}{a^{2}(b+2c)^{2}}$

$\frac{b^{3}c^{3}}{a^{2}(b+2c)^{2}}+\frac{a(b+2c)}{27}+\frac{a(b+2c)}{27}\geq \frac{1}{3}bc$

Lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được: 

$VT\geq \frac{1}{9}\sum ab\geq \frac{1}{3}$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#11 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 15-05-2015 - 19:48

Câu 7 : $\sum \frac{x^{3}}{z^{3}+x^{2}y}=\sum \frac{x^{4}}{xz^{3}+x^{3}y}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum xy(x^{2}+y^{2})}$

Mặt khác , ta có : $(\sum x^{2})^{2}\geq \sum x^{3}y$

Nên ta có : $VT\geq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 16-05-2015 - 16:41

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#12 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 15-05-2015 - 19:59

Câu 5 : $\sum \sqrt{3a+\frac{1}{b}}=\sum \sqrt{(\sqrt{3a})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}}\geq \sqrt{3(\sum \sqrt{a})^{2}+(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}$

$\geq \sqrt{3(\sum \sqrt{a})^{2}+\frac{81}{(\sum \sqrt{a})^{2}}}=\sqrt{3(\sum \sqrt{a})^{2}+\frac{243}{(\sum \sqrt{a})^{2}}-\frac{162}{(\sum \sqrt{a})^{2}}}$

$\geq \sqrt{54-\frac{162}{(\sum \sqrt{a})^{2}}}\geq \sqrt{54-\frac{162}{9}}=\sqrt{36}=6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-05-2015 - 12:03

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#13 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 15-05-2015 - 20:05

Câu 9: Cho $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ là 1 dãy không tăng gồm các số thực dương. CMR:

$\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n}^2}\leq a_{1}+\frac{a_{2}}{\sqrt{2}+1}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$ (Saudi Arabia IMO TST 2014)

P/s: mọi người nếu được thì đăng lời giải luôn nhé,đừng gắn link vào, không hay,topic để mọi người cùng thảo luận cách giải chơ đáp án thì đã có rồi,cái quan trọng là ý tưởng thôi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 16-05-2015 - 11:01

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#14 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 15-05-2015 - 20:12

Câu 10: CMR:

$\frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}+\frac{1+c^2a^2}{(c-a)^2}\geq \frac{3}{2}$ (bosnia-herzegovina TST 2014)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-05-2015 - 15:48

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#15 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 15-05-2015 - 20:31

Câu 10: CMR:

$\frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2}+\frac{1+b^2c^2}{(b-c)^2}+\frac{1+c^2a^2}{(c-a)^2}\geq \frac{3}{2}$ (bosnia-herzegovina TST 2014)

Còn có câu a với b nữa nhỉ

Tính $\frac{1+ab}{a-b}.\frac{1+bc}{b-c}+\frac{1+bc}{b-c}.\frac{1+ca}{c-a}+\frac{1+ca}{c-a}.\frac{1+ab}{a-b}$

$\frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c}+\frac{1-bc}{b-c}.\frac{1-ca}{c-a}+\frac{1-ca}{c-a}.\frac{1-ab}{a-b}$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#16 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 15-05-2015 - 20:32

Câu 10 :  Bài toán trên là một dạng phát triển của đẳng thức sau : 

$\sum (\frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c})=-1$

Kết hợp với BĐT $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq -2(ab+bc+ca)(*)$

Áp dụng $(*)$ ta được : $\sum \frac{(1-ab)^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 2$

Hơn nữa ta để ý rằng : $(ab-1)^{2}+(ab+1)^{2}=2((ab)^{2}+1)(1)$

Từ $(1)$ , ta được ĐPCM


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#17 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 16-05-2015 - 11:05

Câu 11 :(Bosnia Herzezegovina TST 2012)  

Cho $a,b,c>0$ thỏa : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Chứng minh rằng : 

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c}\geq \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

 

Câu 12 : (Brazil National Olympiad 2008) :

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa : $x+y+z=xy+yz+zx$ . Tìm GTNN của : 

$A=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}$

 

P/s : Góp thêm 2 bài  :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 16-05-2015 - 11:20

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#18 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 16-05-2015 - 11:21

Câu 11 :(Bosnia Herzezegovina TST 2012)  

Cho $a,b,c>0$ thỏa : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Chứng minh rằng : 

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c}\geq \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

Ta có $\sum \frac{a^3}{b^2+c}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab^2+\sum ab}$

Mà $\sum ab^2\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}}$

Và $ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$

Thay $a^2+b^2+c^2=1$ ta có đpcm


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#19 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 16-05-2015 - 19:42

Lời giải câu 12: Dự đoán thấy dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=y=-1 & \\ z=1 & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị . 

Ta sẽ chứng minh : $f(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}+\frac{1}{2}\geq 0(*)$ với mọi $x,y,z\in R$

Sau khi quy đồng , khai triển và rút gọn thì ta cần chứng minh : 

$2xyz\sum xy+2\sum xy(x+y)+2\sum x+(xyz)^{2}+\sum (xy)^{2}+\sum x^{2}+1\geq 0(**)$

Đến đây , ta dự đoán là sẽ chuyển $(**)$ về tổng các bình phương mà vẫn đảm bảo ĐK dấu $=$ vẫn xảy ra . Nên : 

$VT(**)=2xyz\sum x+2\sum xy(x+y)+(2\sum x+(\sum x)^{2}+1)-2\sum xy+(xyz)^{2}+\sum (xy)^{2}$

$=2xyz\sum x+2(\sum xy)(\sum x)-6xyz+(\sum x+1)^{2}-2\sum xy+(xyz)^{2}+\sum (xy)^{2}$

$=2xyz\sum x+2(\sum x)^{2}-6xyz+(\sum x+1)^{2}-2\sum xy+(xyz)^{2}+\sum (xy)^{2}$

$=2xyz\sum x+2\sum x^{2}+2\sum xy-6xyz+(\sum x+1)^{2}+(xyz)^{2}+\sum (xy)^{2}$

$=2xyz\sum x+\sum x^{2}+(\sum x)^{2}-6xyz+(\sum x+1)^{2}+(xyz)^{2}+\sum (xy)^{2}$

$=(xyz+\sum x)^{2}+(\sum x+1)^{2}+\sum x^{2}+\sum (xy)^{2}-6xyz$

$=(xyz+\sum x)^{2}+(\sum x+1)^{2}+(x-yz)^{2}+(y-xz)^{2}+(z-xy)^{2}\geq 0$

Vậy ta có ĐPCM  :)

 

P/s : Tạm thời mình chỉ nghĩ được cách trên thôi (Tự nhìn lại thấy xấu xí quá :( ) . Nếu bạn nào có lời giải khác đẹp hơn thì post lên nhé (Mong cách giải bằng Cauchy-Schawrz :icon10: )


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#20 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 16-05-2015 - 20:16

Câu 13 :(Balkan MO , 2014) Cho $x,y,z>0$ thỏa : $xy+yz+zx=3xyz$ . Chứng minh rằng : 

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\geq 2(x+y+z)-3$

 

P/s : Mong các bạn tham gia sôi nổi nhé ! :biggrin:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 16-05-2015 - 20:17

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh