Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 14 Bình chọn

Topic tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 500 trả lời

#21 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 07:55

Câu 13 :(Balkan MO , 2014) Cho $x,y,z>0$ thỏa : $xy+yz+zx=3xyz$ . Chứng minh rằng : 

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\geq 2(x+y+z)-3$

 

P/s : Mong các bạn tham gia sôi nổi nhé ! :biggrin:

Có bổ đề này đã được chứng minh trên diễn đàn:

Với $a,b,c$ thực dương thì $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

Với $a+b+c=3$ thì ta có:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a^2+b^2+c^2$

Áp dụng bổ đề này thì BĐT cần chứng minh tương đương với:

$a^2+b^2+c^2+3abc\geq 2(ab+bc+ac)$ Với $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$

BĐT trên chính là BĐT Schur.

Còn vài cách khác nữa(AM-GM) cũng rất hay...Tự nhiên thấy lỗi này mòn quá:D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 17-05-2015 - 08:10

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#22 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 17-05-2015 - 09:04

câu 14:(Australia TST 2015)

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $xyz\leq 1$.CMR

$\frac{x^2-x+1}{x^2+y^2+1}+\frac{y^2-y+1}{y^2+z^2+1}+\frac{z^2-z+1}{z^2+x^2+1}\geq 1$

 

@Bui Ba Anh: Bài này nghe nói cả Úc 1 người giải đc, AoPS chưa có lời giải

@nhungvienkimcuong:bài ban đầu theo anh binhnhaukhong thì không phải $TST$ Úc mà là bài trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-05-2015 - 16:23

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#23 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 17-05-2015 - 09:18

Câu 12 : (Brazil National Olympiad 2008) :

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa : $x+y+z=xy+yz+zx$ . Tìm GTNN của : 

$A=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}$

ta cần chứng minh $A\geq \frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2}{x^2+1}+\frac{(y+1)^2}{y^2+1}\geq \frac{(z-1)^2}{z^2+1}$

từ giả thiết ta có $z(x+y-1)=x+y-xy$

dễ thấy $x+y\neq 1\Rightarrow z=\frac{x+y-xy}{x+y-1}$

do đó ta cần chứng minh

$\frac{(x+1)^2}{x^2+1}+\frac{(y+1)^2}{y^2+1}\geq \frac{\left ( \frac{x+y-xy}{x+y-1}-1 \right )^2}{\left ( \frac{x+y-xy}{x+y-1} \right )^2+1}$

$\Leftrightarrow \frac{(x+1)^2}{x^2+1}+\frac{(y+1)^2}{y^2+1}\geq \frac{(xy-1)^2}{(x+y-xy)^2+(x+y-1)^2}$

$\blacksquare$ nếu $x=y=1$ thì bđt đúng

$\blacksquare$ nếu $(x-1)^2+(y-1)^2>0$

$\Rightarrow \frac{(x+1)^2}{x^2+1}+\frac{(y+1)^2}{y^2+1}\geq \frac{\left [ (x+1)(y-1)+(y+1)(x-1) \right ]^2}{(x^2+1)(y-1)^2+(y^2+1)(x-1)^2}$

                                                                                                  $=\frac{4(xy-1)^2}{(x^2+1)(y-1)^2+(y^2+1)(x-1)^2}$

do đó ta cần chứng minh

$4(x+y-xy)^2+4(x+y-1)^2\geq (x^2+1)(y-1)^2+(y^2+1)(x-1)^2$

$\Leftrightarrow (y^2-3y+3)x^2-(3y^2-8y+3)x+3y^2-3y+1\geq 0$

thật vậy do $\Delta _x=-3(y^2-1)^2\leq 0$ nên bđt được chứng minh

vậy $\boxed{A_{min}=\frac{-1}{2}}$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-05-2015 - 16:25

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#24 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 17-05-2015 - 09:27

Câu 15: (Turkey JBMO TST 2013)

CMR với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ thì:

$\frac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}+\frac{b^4+5c^4}{b(b+2c)}+\frac{c^4+5a^4}{c(c+2a)}\geq 1-ab-bc-ca$


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#25 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 09:37

câu 14:(Australia TST 2015)

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $xyz\leq 1$.CMR

$\frac{x^2-x+1}{x^2+y^2+1}+\frac{y^2-y+1}{y^2+z^2+1}+\frac{z^2-z+1}{z^2+x^2+1}\leq 3$

BĐT sau sẽ thú vị hơn nhiều:

$\sum \frac{x^2-x+1}{x^2+y^2+1}\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 17-05-2015 - 09:37

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#26 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 09:41

Câu 15: (Turkey JBMO TST 2013)

CMR với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ thì:

$\frac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}+\frac{b^4+5c^4}{b(b+2c)}+\frac{c^4+5a^4}{c(c+2a)}\geq 1-ab-bc-ca$

Bài này có thể tách ra làm 2 tổng rồi dùng C-S


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#27 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 09:52

Bài 16 :(APMO) Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn:$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+xz}{\sqrt{2y^2(x+z)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\geq 1$

 

P/s:Bài này hơi cũ tí nhưng vẫn thấy hay! :icon10:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 17-05-2015 - 18:50

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#28 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 17-05-2015 - 13:53

Câu 15: (Turkey JBMO TST 2013)

CMR với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ thì:

$\frac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}+\frac{b^4+5c^4}{b(b+2c)}+\frac{c^4+5a^4}{c(c+2a)}\geq 1-ab-bc-ca$

ta có 

$\sum \frac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}=\sum \frac{a^4}{a(a+2b)}+5\sum \frac{b^4}{a(a+2b)}\geq \frac{\left ( \sum a^2 \right )^2}{\left ( \sum a \right )^2}+\frac{5\left ( \sum b^2 \right )^2}{\left ( \sum a \right )^2}=$

$=6\left ( \sum a^2 \right )^2\geq 2\sum a^2\geq \sum a^2+\sum bc=\left ( \sum a^2 \right )-\sum bc=1-\sum bc$

 

16.(APMO) Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn:$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$.Chứng minh rằng:

$\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+xz}{\sqrt{2y^2(x+z)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\geq 1$

đổi biến $(x,y,z)\rightarrow \left ( \frac{1}{a^2},\frac{1}{ b^2},\frac{1}{c^2} \right )\Rightarrow \sum \frac{1}{a}=1$

do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{a^4+b^2c^2}{a^2bc\sqrt{2(b^2+c^2)}}\geq 1=\sum \frac{1}{a}$

vì bđt trên thuần nhất nên ta chuẩn hóa $abc=1$ do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2c^2}{a\sqrt{2(b^2+c^2)}}\geq \sum \frac{1}{a}=\sum bc$

thật vậy

$\sum \frac{a^4+b^2c^2}{a\sqrt{2(b^2+c^2)}}\geq 2\sum \frac{a^4+b^2c^2}{2a^2+b^2+c^2}=2\sum \frac{a^4}{2a^2+b^2+c^2}+2\sum \frac{b^2c^2}{2a^2+b^2+c^2}\geq  $

                      $\geq \frac{ a^2 }{2}+\frac{\left ( \sum bc \right )^2}{2\sum a^2}\geq \sum bc$

do đó bđt được chứng minh

p/s:hai bài skill giống nhau nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-05-2015 - 13:57

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#29 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 17-05-2015 - 15:00

Câu 17:(Iran MO 2014, vòng 2) Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$. Chứng tỏ rằng:

$\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$

 

@topic hay quá!


NgọaLong

#30 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 17-05-2015 - 15:10

Câu 17:(Iran MO 2014, vòng 2) Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$. Chứng tỏ rằng:

$\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$

nếu trong ba số $x,y,z$ có ít nhất một số bằng $0$ thì dễ thấy bđt đúng

xét với $x,y,z>0$

WLOG $z=min\left \{ x,y,z \right \}$ từ giả thiết có $(x+y-z)^2=4xy\Rightarrow x+y=z+2\sqrt{xy}$

do đó ta có

$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}=\frac{2(z+\sqrt{xy})}{\sqrt[3]{xyz}}=\frac{2\left ( z+\frac{\sqrt{xy}}{2}+\frac{\sqrt{xy}}{2} \right )}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3\sqrt[3]{2}$

dấu bằng xảy ra khi $\boxed{(x,y,z)\sim (4,1,1)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-05-2015 - 15:17

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#31 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 17-05-2015 - 15:11

Câu 18: (Korean NMO 2014)

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. CMR:

$\frac{(1+xy+yz+xz)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\geq (\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}}+\frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}})^2$

P/s: bài này thực sự rất hay vì hoàn tòan có thể dùng C-S để giải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 17-05-2015 - 15:34

FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#32 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 17-05-2015 - 15:33

Câu 18: (Korean NMO 2014)

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. CMR:

$\frac{(1+xy+yz+xz)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\geq (\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}}+\frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}})$

đề cần chứng minh $\frac{\left ( \sum xy+1 \right )\left ( 3\sum x^3+1 \right )}{9\prod (x+y)}\geq \left (\sum \frac{x\sqrt{x+1}}{\sqrt[4]{9x^2+3}} \right )^{{\color{Red} 2}}$ chứ nhỉ

ta có $4(9x^2+3)\geq 9(x+1)^2\Rightarrow VT\leq \frac{2}{3}\left ( \sum x \right )^2=\frac{2}{3}$

do đó ta cần chứng minh $\frac{\left ( \sum xy+1 \right )\left ( 3\sum x^3+1 \right )}{9\prod (x+y)}\geq \frac{2}{3}$

tới đây $pqr$ ta cần chứng minh $(q+1)(9r-9q+4)\geq 6(q-r)$ kết hợp với $\left\{\begin{matrix} r\geq \frac{4q-1}{9}\\q\leq \frac{1}{3} \end{matrix}\right.$ thì ta có được $Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-05-2015 - 15:33

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#33 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 17-05-2015 - 15:43

Tuyệt vời quá,Topic đang ở mức Hot

Tiếp tục nào các bạn

Câu 19: ( Macedonia TST 2007 ) 

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}$

P/s: hình như bài số 9 chưa có ai giải 


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#34 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 17-05-2015 - 15:46

Câu 19: ( Macedonia TST 2007 ) 

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}$

P/s: hình như bài số 9 chưa có ai giải 

thiếu $abc=1$ thì phải

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-05-2015 - 15:46

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#35 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 17-05-2015 - 15:47

thiếu $abc=1$ thì phải

Spoiler

trong đề nó ghi chỉ như thế,để anh kiểm tra lại 


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#36 ducvipdh12

ducvipdh12

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị
  • Sở thích:ANIME IS LOVE,ANIME IS LIFE

Đã gửi 17-05-2015 - 15:52

câu số 9 thử dùng quy nạp xem :)


FAN THẦY THÔNG,ANH CẨN,THẦY VINH :icon6: :icon6:

#37 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 16:05

câu 14:(Australia TST 2015)

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $xyz\leq 1$.CMR

$\frac{x^2-x+1}{x^2+y^2+1}+\frac{y^2-y+1}{y^2+z^2+1}+\frac{z^2-z+1}{z^2+x^2+1}\leq 3$

 

@Bui Ba Anh: Bài này nghe nói cả Úc 1 người giải đc, AoPS chưa có lời giải

Bài này không chặt lắm và không có đẳng thức ở đây:

 

$x^2-x+1<x^2+1<x^2+y^2+1$

Đây không phải bài TST của Úc.Bài của Úc là bài mình vừa nêu và đến nay mới chỉ có 1 lời giải cho nó(bằng khai triển đầy đủ)


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#38 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 16:08

ta có 

$\sum \frac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}=\sum \frac{a^4}{a(a+2b)}+5\sum \frac{b^4}{a(a+2b)}\geq \frac{\left ( \sum a^2 \right )^2}{\left ( \sum a \right )^2}+\frac{5\left ( \sum b^2 \right )^2}{\left ( \sum a \right )^2}=$

$=6\left ( \sum a^2 \right )^2\geq 2\sum a^2\geq \sum a^2+\sum bc=\left ( \sum a^2 \right )-\sum bc=1-\sum bc$

 

đổi biến $(x,y,z)\rightarrow \left ( \frac{1}{a^2},\frac{1}{ b^2},\frac{1}{c^2} \right )\Rightarrow \sum \frac{1}{a}=1$

do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{a^4+b^2c^2}{a^2bc\sqrt{2(b^2+c^2)}}\geq 1=\sum \frac{1}{a}$

vì bđt trên thuần nhất nên ta chuẩn hóa $abc=1$ do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2c^2}{a\sqrt{2(b^2+c^2)}}\geq \sum \frac{1}{a}=\sum bc$

thật vậy

$\sum \frac{a^4+b^2c^2}{a\sqrt{2(b^2+c^2)}}\geq 2\sum \frac{a^4+b^2c^2}{2a^2+b^2+c^2}=2\sum \frac{a^4}{2a^2+b^2+c^2}+2\sum \frac{b^2c^2}{2a^2+b^2+c^2}\geq  $

                      $\geq \frac{ a^2 }{2}+\frac{\left ( \sum bc \right )^2}{2\sum a^2}\geq \sum bc$

do đó bđt được chứng minh

p/s:hai bài skill giống nhau nhỉ

Bài này cũng có thể giải bằng Schur mở rộng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 17-05-2015 - 16:10

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#39 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 17-05-2015 - 16:13

BĐT sau sẽ thú vị hơn nhiều:

$\sum \frac{x^2-x+1}{x^2+y^2+1}\geq 1$

bài của anh thì ở đây

 

Bài này không chặt lắm và không có đẳng thức ở đây:

 

$x^2-x+1<x^2+1<x^2+y^2+1$

Đây không phải bài TST của Úc.Bài của Úc là bài mình vừa nêu và đến nay mới chỉ có 1 lời giải cho nó(bằng khai triển đầy đủ)

còn bài của em thì em cũng không chắc là TST Úc bởi em lấy nguồn từ đây


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 17-05-2015 - 16:14

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#40 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 16:17

bài của anh thì ở đây

 

còn bài của em thì em cũng không chắc là TST Úc bởi em lấy nguồn từ đây

Đúng rồi em link đầu là bài TST của Úc đó bài đấy vẫn chưa có lời giải đẹp nào cả.


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh