Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 14 Bình chọn

Topic tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 502 trả lời

#461 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 02-07-2015 - 15:23

Bài 167(China TST): Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm GTNN của biểu thức sau:

                              P=$\frac{1}{(b-1)^2+a^2}+\frac{1}{(b-1)^2+c^2}$

Đề có thể sai chăng? Hiển nhiên $P\geqslant 1$, đẳng thức khi $a-1=b=c-1=0$

TST không thể dễ đến vậy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 02-07-2015 - 15:28

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#462 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 02-07-2015 - 15:42

Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:

P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 02-07-2015 - 15:47

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#463 NguyenDangHuyYTNA

NguyenDangHuyYTNA

    Binh nhất

  • Banned
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vuơng quốc thất bại
  • Sở thích:Sẽ không quên giấc mơ này!!

Đã gửi 02-07-2015 - 16:41

Bài 169: Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh: 

$2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)(xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}+xyz) \leq (x^{2}+y^{2}+z^{2}+3xyz)^{2}$



#464 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 03-07-2015 - 14:33

Bài 170(Brazil MO): Cho a,b,c>0. CMR: nếu a+b+c=3 thì

$\sum \frac{2a^2+bc^2}{7a^2+10ab+b^2}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 03-07-2015 - 14:34

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#465 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 03-07-2015 - 20:57

Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:

P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$

  ta có;$a+b+c=2(ab+bc+ac)\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2\Leftrightarrow \frac{3}{2}\leq (a+b+c)$

  giả sử :

      $a\geq c\geq b$  $\Leftrightarrow$ $a\geq \frac{1}{2}$

$a+b-ab=2c(a+b-\frac{1}{2})+ab> 0$

$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+3$

xét hiệu:

$\frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^3-b^2}{b^2+c^2}\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}$

 

$\Leftrightarrow (a^3-a^2)(\frac{c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)})+(b^3-b^2)(\frac{b^2-c^2}{2b^2(b^2+c^2)})\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^3-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq \frac{b^3-b^2}{2b^2(b^2+c^2)}=\frac{b-1}{2(b^2+c^2)}$

 

$\Leftrightarrow 2(a^3b^2+a^3c^2)+a^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq a^4b+b^3a^2+a^2c^2b+b^3c^2+2(a^2b^2+a^2c^2)$

 

$\Leftrightarrow (a-b)(a^2b^2+2a^2c^2+b^2c^2+(a+b-ab)(a^2-c^2))\geq 0$

  

$P\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^3-c^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}+3\geq \frac{a^3+c^3}{a^2+c^2}+\frac{b}{2}+\frac{3}{2}$

lại có:

$a^3+c^3\geq ac(a^2+c^2)\Leftrightarrow 2(a^3+c^3)\geq (a+c)(a^2+c^2)\Leftrightarrow a^3+c^3\geq \frac{(a+c)(a^2+c^2)}{2}$

 

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{a}{2}+\frac{3}{2}\geq \frac{9}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 03-07-2015 - 21:09

tiến tới thành công  :D


#466 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 06-07-2015 - 20:28

 Dạo này TOPIC ít người tham gia vậy ,vẫn những bài toán từ hôm trước



#467 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 08-07-2015 - 15:47

Sau đây xin khởi động lại Topic bằng 1 bài mới

Bài 171(Baltic Way Shortlist): Cho a,b,c>0:$ab+bc+ca$$=$$\frac{3}{4}$. CMR:Với mọi $a+b+c$ khác $\frac{1}{24}$

 

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2\geq \frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{2abc}{3(a+b+c)-\frac{1}{8}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 09-07-2015 - 14:31

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#468 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 09-07-2015 - 15:01

Bài 172(Balkan Shortlist): CMR:

$\frac{1}{\sqrt{2!}}+\frac{1}{2\sqrt[3]{3!}}+\frac{1}{3\sqrt[4]{4!}}+...+\frac{1}{2015\sqrt[2016]{2016}}<\frac{3}{2}$


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#469 Thao Huyen

Thao Huyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-07-2015 - 17:04

Bài 153: (Việt Nam TST 2005) 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3 \geq \frac{3}{8}$

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.


Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!


#470 VuHongQuan

VuHongQuan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Da Nang
  • Sở thích:Toán và Tiếng Anh

Đã gửi 20-07-2015 - 05:59

bài 153 : ta có $(a+b)^3\leq 4(a^3+b^3)$ (cái này chắc ai cũng biết , biến đổi tương đương )

tương tự :$(b+c)^3\leq 4(b^3+c^3)\\(c+a)^3\leq 4(c^3+a^3)\\\Rightarrow VT\geq \frac{1}{4}(\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{a^3+c^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3})\geq \frac{3}{8}$

(BĐT nesbitt) . OK



#471 hoilamchi

hoilamchi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Can Lộc
  • Sở thích:Doraemon và những thứ liên quan đến Mon ú

Đã gửi 04-08-2015 - 16:13

Đây là file tổng hợp các BĐT từ đầu topic đến bây giờ  :)

http://www.mediafire...ality_in_MO.pdf

Mong các bạn tiếp tục tham gia tích cực nữa nhé ! Thân  :biggrin:

Không tổng hợp nữa hả anh?  :mellow:



#472 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 04-08-2015 - 19:39

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.

Chào bạn :)) , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không :) Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé :))


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#473 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 04-08-2015 - 20:09

Chào bạn :)) , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không :) Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé :))

a ko tổng hợp tiếp ạ


tiến tới thành công  :D


#474 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 05-08-2015 - 17:06

a ko tổng hợp tiếp ạ

Thực tế là mình nhờ bạn khác tổng hợp zồi mà mấy bữa nay không thấy tâm hơi đâu cả  :D


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#475 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 06-08-2015 - 15:00

Thực tế là mình nhờ bạn khác tổng hợp zồi mà mấy bữa nay không thấy tâm hơi đâu cả  :D

Buồn quá toàn bài của mình  :mellow:  :mellow:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 06-08-2015 - 16:28

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#476 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 08-08-2015 - 10:02

Vực topic dậy nào  :icon6:

Bài 173:(China Girls Math Olympiad)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm Min của:

$ \frac {a + 3c}{a + 2b + c} + \frac {4b}{a + b + 2c} - \frac {8c}{a + b + 3c}.$

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 08-08-2015 - 10:07


#477 nangcuong8e

nangcuong8e

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Đã gửi 08-08-2015 - 10:31

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$

 Ta có: $u\sqrt{vw} +v\sqrt{uw} +w\sqrt{vu} \geq 1 \Leftrightarrow u(v+w) +v(w+u) +w(u+v) \geq 2$

$\Rightarrow 3(uv +vw +wu) \geq 3$

 Mà $(u+v+w)^2 \geq 3(uv +vw +wu) \geq 3$ nên $u +v +w \geq \sqrt{3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $u=v=w = \frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 08-08-2015 - 10:35


#478 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 08-08-2015 - 11:10

Cách khác cho bài 174:

Đặt $u\sqrt{vw}=a;v\sqrt{uw}=b;w\sqrt{uv}=c\Leftrightarrow u=\frac{a^{2}}{\sqrt{abc}};v=\frac{b^{2}}{\sqrt{abc}};w=\frac{c^{2}}{\sqrt{abc}}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 1 & \\ u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có 

$u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{9.\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}$



#479 dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 08-08-2015 - 14:12

Cách khác cho bài 174:

Đặt $u\sqrt{vw}=a;v\sqrt{uw}=b;w\sqrt{uv}=c\Leftrightarrow u=\frac{a^{2}}{\sqrt{abc}};v=\frac{b^{2}}{\sqrt{abc}};w=\frac{c^{2}}{\sqrt{abc}}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 1 & \\ u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng AM-GM ta có 

$u+v+w=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{abc}}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{9.\frac{(a+b+c)^{3}}{27}}}=\sqrt{3(a+b+c)}\geq \sqrt{3}$

Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow u=v=w=\frac{1}{\sqrt{3}}$

sao chị nghĩ ra cách đặt như thế, cho em tham khảo tài liệu phát


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#480 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 08-08-2015 - 15:15

sao chị nghĩ ra cách đặt như thế, cho em tham khảo tài liệu phát

Cái cách đặt thế thì hình như chẳng có tài liệu đâu bạn . Đó thuộc về kĩ năng và sự nhạy cảm thôi bạn :))


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh