Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 14 Bình chọn

Topic tổng hợp một số bất đẳng thức trong kì thi MO các nước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 502 trả lời

#481 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 08-08-2015 - 15:35

Giải bài 173 : 

Đặt : $\left\{\begin{matrix} a+2b+c=x & & \\ a+b+2c=y & & \\ a+b+3c=z & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+3c=2y-x & & \\ b=x+z-2y & & \\ c=z-y & & \end{matrix}\right.$

do đó ta có : $f(x,y,z)=2(\frac{y}{x}+\frac{2x}{y})+4(\frac{z}{y}+\frac{2y}{z})-17$

Tới đây thì đánh giá bằng CS rồi tìm dấu = là xong :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 08-08-2015 - 15:37

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#482 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 08-08-2015 - 15:36

Vực topic dậy nào  :icon6:

Bài 173:(China Girls Math Olympiad)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm Min của:

$ \frac {a + 3c}{a + 2b + c} + \frac {4b}{a + b + 2c} - \frac {8c}{a + b + 3c}.$

Bài 174:(China Girls Math Olympiad)

Cho $u;v;w$ là các số thực dương thoả mãn $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu}+ w\sqrt {uv} \geq 1$.Tìm Min của $ u + v+ w$

Bài 173: Đặt: $x=a+2b+c;y=a+b+2c;z=a+b+3c$

Cần tìm Min của:

$\frac{2y-x}{x}+\frac{4(z+x-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}=-17+2(\frac{y}{x}+\frac{2x}{y})+4(\frac{2y}{z}+\frac{z}{y})$

$\geq 4\sqrt{2}+8\sqrt{2}-17=12\sqrt{2}-17$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#483 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 08-08-2015 - 19:21

Chào bạn :)) , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không :) Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé :))

Phương pháp trội tử tức là giá trị bằng $1/2$ cộng thêm $1$ ẩn để thêm vào nữa.

Bài tập:

$(1)$

$\sum (\frac{a}{a+b})^2+3\geqslant \frac{5}{2}\sum \frac{a}{a+b}$

Vân vân :v


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#484 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 11-08-2015 - 08:51

Bài 175: (China Girls Math Olympiad) Cho $a_{1};a_{2};...a_{n}$ là các số không âm.Chứng minh rằng $\frac{1}{1+ a_1}+\frac{ a_1}{(1+ a_1)(1+ a_2)}+\frac{ a_1 a_2}{(1+ a_1)(1+ a_2)(1+ a_3)}+...+\frac{ a_1 a_2... a_{n-1}}{(1+ a_1)(1+ a_2)... (1+ a_n)} \leq 1.$

Bài 176: (Romania) Cho $n\epsilon N*$ và $a_{1};a_{2};...a_{n}\epsilon R$ thoả mãn ${a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{k}\leq k$ với $\forall k\epsilon (1;2;..;n)$.Chứng minh rằng $\frac{{{a}_{1}}}{1}+\frac{{{a}_{2}}}{2}+...+\frac{{{a}_{n}}}{n}\leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 11-08-2015 - 08:57


#485 Master Yi

Master Yi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Nghiên cứu khoa học,làm toán,chơi game....

Đã gửi 03-05-2016 - 01:20

\[\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\leq 4\sqrt{a+b+c}\]
 

Với mọi a,b,c ko âm,CM bđt trên đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Yi: 03-05-2016 - 01:22


#486 tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn $\boxed{\boxed{{\color{Red} \bigstar } \color{blue}{\text{CHUYÊN TOÁN}} {\color{Red} \bigstar }}}$

Đã gửi 21-05-2016 - 10:03

Bài 177: (USAMO 2003) Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$.


:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#487 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 21-05-2016 - 13:14

Bài 177: (USAMO 2003) Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$.

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\sum \frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2}\leq 8\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}\leq 8$$

Mặt khác, ta có:

$$\frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}\leq \frac{4a}{3}+\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2(4a+3)}{3(a^2-2a+3)}\geq 0(\text{luôn đúng})$$

Tương tự, ta có:

$$\frac{b^2+6b+9}{3b^2-6b+9}\leq \frac{4b}{3}+\frac{4}{3}$$

$$\frac{c^2+6c+9}{3c^2-6c+9}\leq \frac{4c}{3}+\frac{4}{3}$$

Cộng vế với vế $3$ bất đẳng thức trên ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 22-05-2016 - 08:17

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#488 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 29-06-2016 - 18:52

Bài 177: (USAMO 2003) Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

P=$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$.

Second Solution:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{(2+\frac{b+c}{a})^2}{2+(\frac{b+c}{a})^2}\leq 8$

Đặt$\left\{\begin{matrix} \frac{b+c}{a}=x\\ \frac{c+a}{b}=y \\ \frac{a+b}{c}=z\end{matrix}\right.$.Khi đó ta có:xyz=x+y+z+2

Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

P=$\sum \frac{(2+x)^2}{2+x^2}\leq 8\Leftrightarrow \sum \frac{(x-1)^2}{x^2+2}\geq \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

P$P\geq \frac{(x+y+z-3)^2}{x^2+y^2+z^2+g}$

Cuối cùng ta cần chứng minh:

$2(x+y+z-3)^2\geq x^2+y^2+z^2+6\Leftrightarrow 2(x+y+z-3)^2\geq (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+6$
Mặt khác dễ dàng chỉ ra được $xyz\geq 8$.Từ đó ta được;$xy+yz+zx\geq 12,x+y+z\geq 6$

Đặt x+y+z=t thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$2(t-3)^2\geq t^2-18\Leftrightarrow (t-3)(t-6)\geq 0$(luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c


Nothing in your eyes


#489 yeutoanmanhliet

yeutoanmanhliet

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 18-07-2016 - 00:09

Câu 7 : $\sum \frac{x^{3}}{z^{3}+x^{2}y}=\sum \frac{x^{4}}{xz^{3}+x^{3}y}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{\sum xy(x^{2}+y^{2})}$

Mặt khác , ta có : $(\sum x^{2})^{2}\geq \sum x^{3}y$

Nên ta có : $VT\geq \frac{3}{2}$

cái thứ 2 chứng minh sao anh



#490 Minato Namikaze

Minato Namikaze

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 11-02-2017 - 00:52

Bài 2 khá dễ ta đặt √a=x;√b=y;√c=z khi đó thoả x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2=1 từ đó ta cm đc 3√3×x^2y^2z^2=<1 và điều cần cm là x^3/(y^2z^2)+y^3/(x^2z^2)+z^3/(x^2y^2) >=√3×(x+y+z)

#491 Minato Namikaze

Minato Namikaze

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 11-02-2017 - 00:55

Cauchy schwarz ta đc điều cần cm là x+y+z>=3√3×xyz điều này tuong duong voi 3√3×x^2×y^2×z^2 =<1

#492 9nho10mong

9nho10mong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TTGDTX Bình Chánh

Đã gửi 11-02-2017 - 11:40

Bài 177: (USAMO 2003) Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$.

 

Với $a,b,c > 0 $ có

$$ \dfrac{8}{3} + \dfrac{4 \left( 2a-b-c \right)}{3 \left( a+b+c \right)} - \dfrac{\left( 2a+b+c \right)^2}{2a^2 + \left( b+c \right)^2} = \dfrac{\left( 5a+b+c \right) \left( 2a-b-c \right)^2}{3 \left( a+b+c \right) \left( 2a^2 + \left( b+c \right)^2\right)} \ge 0 $$

Từ đó có

$$ \dfrac{\left( 2a+b+c \right)^2}{2a^2 + \left( b+c \right)^2} \le  \dfrac{8}{3} + \dfrac{4 \left( 2a-b-c \right)}{3 \left( a+b+c \right)}$$

Suy ra

$$  \sum  \dfrac{\left( 2a+b+c \right)^2}{2a^2 + \left( b+c \right)^2} \le 8$$

Đó là điều cần chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 9nho10mong: 11-02-2017 - 11:40

.

 


#493 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-02-2017 - 15:46

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2>0.$ Chứng minh rằng:

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8.$$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#494 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-02-2017 - 15:49

\[\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\leq 4\sqrt{a+b+c}\]
 

Với mọi a,b,c ko âm,CM bđt trên đúng

 

Ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau đây

\[\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\leq \frac54\sqrt{a+b+c}.\]

Lời giải.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#495 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-02-2017 - 15:53

Phương pháp trội tử tức là giá trị bằng $1/2$ cộng thêm $1$ ẩn để thêm vào nữa.

Bài tập:

$(1)$

$\sum (\frac{a}{a+b})^2+3\geqslant \frac{5}{2}\sum \frac{a}{a+b}$

Vân vân :v

 

Ta có

\[\sum \frac{a^2}{(a+b)^2} +3 - \frac{5}{2}\sum \frac{a}{a+b} = \frac{1}{2(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}\sum ca(ab+3bc+3ca+c^2)(a-b)^2 \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#496 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 11-02-2017 - 19:01

hình như có người gửi rồi hay sao ý ^-^

Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:

P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$

Ta chứng minh một bổ đề sau

$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow 2(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0$ (luôn đúng)

Mặt khác $a+b+c=2ab+2bc+2ca\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 11-02-2017 - 19:05

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#497 Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:vinahey :V

Đã gửi 05-04-2017 - 22:46

hình như có người gửi rồi hay sao ý ^-^

Ta chứng minh một bổ đề sau

$\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow 2(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0$ (luôn đúng)

Mặt khác $a+b+c=2ab+2bc+2ca\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{2}=a+b+c\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

bạn đọc sai đề bài rồi, VT của đề là $\sum\frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$ chứ không phải là $\sum\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$


  :D :D  :D 

“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D  :D  :D 


#498 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 24-04-2017 - 22:53

BÀI TOÁN (Serbian National Olympiad 2008):

Cho các số thực dương x,y,z sao cho $x+y+z=1$. 

CMR: $\sum\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}\leq\frac{27}{31}$

 


        AQ02

                                 


#499 Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\star \int_{VTLong}^{QT-T1619}\star$

Đã gửi 26-05-2017 - 11:03

BÀI TOÁN (Serbian National Olympiad 2008):

Cho các số thực dương x,y,z sao cho $x+y+z=1$. 

CMR: $\sum\frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}}\leq\frac{27}{31}$

18718237_1858025814446137_1967009653_n.p


$\mathbb{VTL}$


#500 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2017 - 12:20

Xin up lại bài toán hay sau của anh Dragon, bài này thấy anh up mà chưa có giải nên em xin up lại vào topic luôn :)

 

Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Chứng minh rằng: 

 

$\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a^{3}+bc}}\leq \frac{3}{2}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh