Bài 39 : Cho $0<a,b,c \leq 1, a^2+b^2+c^2=2$. Chứng minh rằng:
$\frac{1-a^2}{c}+\frac{1-c^2}{b}+\frac{1-b^2}{a} \leq \frac{5}{4}$
những lời giải sau đây từ tài liệu của mình,mình xin phép gõ lại một cách(theo yêu cầu của chủ topic) và cách còn lại mình xin gửi một file của thầy Cẩn(do dài quá )
đổi biến $\left ( 1-a^2,1-b^2,1-c^2 \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$ do đó ta cần chứng minh
$\frac{x}{\sqrt{x+y}}+\frac{y}{\sqrt{y+z}}+\frac{z}{\sqrt{z+x}}\leq \frac{5}{4}\sqrt{x+y+z}$
bđt trên có tên là $\text{Jack Garfunkel}$
Cách 1:
WLOG $x=max\left \{ x,y,z \right \}$ và $x+y+z=1$
đặt $\left\{\begin{matrix} t=\frac{x+z}{2}\\s= \frac{x-z}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=t+s\\y=1-2t \\z=t-s \end{matrix}\right.$
do đó ta cần chứng minh
$\frac{t+s}{\sqrt{s+1-t}}+\frac{1-2t}{\sqrt{1-t-s}}+\frac{t-s}{\sqrt{2t}}\leq \frac{5}{4}$
đặt $VT$ của biểu thức trên là $f(s)$ với $s\in \left [ 0,t \right ]$ ta sẽ chứng minh $f(s)\leq max\left \{ f(0),f(t) \right \}$
ta có
$f'(s)=\frac{1}{\sqrt{s+1-t}}-\frac{t+s}{2(s+1-t)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1-2t}{2(1-t-s)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\sqrt{2t}}$
$f''(s)=\frac{-1}{(s+1-t)^{\frac{3}{2}}}+\frac{3(t+s)}{4(s+1-t)^{\frac{5}{2}}}+\frac{3(1-2t)}{4(1-t-s)^{\frac{5}{2}}}$
$f'''(s)=\frac{18+3s-33t}{(1-t-s)^{\frac{7}{2}}}+\frac{15(1-2t)}{8(1-t-s)^{\frac{7}{2}}}>0$
vậy $f'''(s)>0\ \ \forall s\in \left [ 0,t \right ]$ nên theo định lí $Rolle$ thì $f'(s)$ có tối đa hai nghiệm trên $\left [ 0,t \right ]$
mặt khác dễ chứng minh $f'(0)\leq 0$ và $f'(s)\geq 0$ do đó $f'(s)$ chỉ có thể đổi dấu tối đa một lần trên $\left ( 0,t \right )$
hơn nữa $f'(s)$ chỉ có thể có một trong các dạng sau $f'(s)>0,\forall s\in (0,t)$ hoặc $f'(s)<0,\forall s\in (0,t)$ hoặc $f'(s)$ có dạng $-0+$ trên $(0,t)$ .Tuy nhiên trong trường hợp nào thì $f(s)$ cũng chỉ có thể đạt cực đại tại biên
vậy
$f(s)\leq max\left \{ f(0),f(t) \right \}\ \ \forall s\in \left [ 0,t \right ]$
do đó ta chỉ cần chứng minh
$max\left \{ f(0),f(t) \right \}\leq \frac{5}{4}$
điều trên là dễ thấy
Cách 2:
Donbiencodien-VQBC.pdf 3.71MB
243 Số lần tải