Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\le 3$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$
$P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$
#1
Đã gửi 15-05-2015 - 12:32
#2
Đã gửi 15-05-2015 - 12:36
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\le 3$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$
- 5S online, hoctrocuaHolmes, Truong Gia Bao và 1 người khác yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#3
Đã gửi 15-05-2015 - 12:39
$ x^2+y^2+1+1+1+1+1+1 \geq 8\sqrt[8]{x^2y^2}=8\sqrt[4]{xy} $
Suy ra: $ \frac{1}{1+ \sqrt[4]{xy}} \geq \frac{8}{x^2+y^2+14} $
Suy ra: $\sum\frac{1}{1+ \sqrt[4]{xy}} \geq \frac{8.9}{2(x^2+y^2+z^2)+14.3} \geq \frac{3}{2} $
- Taj Staravarta yêu thích
#4
Đã gửi 15-05-2015 - 12:40
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\le 3$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$
$P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}\geq \frac{9}{3+\sum \sqrt[4]{xy}}$
Do đó cần tìm max của $\sum \sqrt[4]{xy}$
Ta có: $\sqrt[4]{xy}\leq \frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\leq \frac{1}{4}(x+y+2)\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+2)+2)=\frac{1}{8}(x^{2}+y^{2})+\frac{3}{4}$
Từ đó rút ra được $\sum \sqrt[4]{xy}\leq 3$
- Taj Staravarta yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh