Chủ đề này có 3 trả lời

[5S online]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\le 3$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$

[Viet Hoang 99]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\le 3$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$

$\sum \sqrt[4]{xy}\le \sum \sqrt{x}\le \sum \frac{x+1}{2}\le \sum \frac{\frac{x^2+1}{2}+1}{2}\le 3$

nên

$P\ge \frac{9}{3+\sum \sqrt[4]{xy}}\ge \frac{3}{2}$

[Pham Quoc Thang]

$ x^2+y^2+1+1+1+1+1+1 \geq 8\sqrt[8]{x^2y^2}=8\sqrt[4]{xy} $
Suy ra: $ \frac{1}{1+ \sqrt[4]{xy}} \geq \frac{8}{x^2+y^2+14} $
Suy ra: $\sum\frac{1}{1+ \sqrt[4]{xy}} \geq \frac{8.9}{2(x^2+y^2+z^2)+14.3} \geq \frac{3}{2} $

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\le 3$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}$

$P=\sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{xy}}\geq \frac{9}{3+\sum \sqrt[4]{xy}}$

Do đó cần tìm max của $\sum \sqrt[4]{xy}$

Ta có: $\sqrt[4]{xy}\leq \frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\leq \frac{1}{4}(x+y+2)\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+2)+2)=\frac{1}{8}(x^{2}+y^{2})+\frac{3}{4}$

Từ đó rút ra được $\sum \sqrt[4]{xy}\leq 3$