Chủ đề này có 4 trả lời

[trungtck41]

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-05-2015 - 22:52

[Hoang Nhat Tuan]

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2

x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}

Bạn xem lại đề bài kìa     

Cho x,y,z thuộc đoạn (0;1) và $x+y+z=\frac{3}{2}$

Chứng minh $x^2+y^2+z^2\leq \frac{5}{4}$

[vda2000]

 

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2

x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}

Ta có: $0\leq x,y,z\leq 1$

$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow xyz+x+y+z\leq xy+yz+zx+1$ mà $xyz\geq 0$ nên: 

$\Leftrightarrow 0+\frac{3}{2}\leq xy+yz+zx+1$

$\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\leq\frac{3^2}{2^2}-2.\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq\frac{5}{4}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}$

Giả sử $1\geq x\geq y\geq z\geq 0$

Từ giả thiết rút ra được $(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0 => xyz+\frac{1}{2}\leq xy+yz+zx$

=> $xy+yz+xz\geq \frac{1}{2}$

nên $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+xz)\leq \frac{5}{4}$

Dấu bằng xảy ra <=> x=1;y=0,5;z=0

[Lee LOng]

Đặt  $x=a+\frac{1}{2};y=b+\frac{1}{2};z=c+\frac{1}{2}\Rightarrow a;b;c\epsilon [\frac{-1}{2};\frac{1}{2}]$ và $a+b+c=0$

BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c+\frac{3}{4}\leq \frac{5}{4}\Leftrightarrow \sum a^{2}\leq \frac{1}{2}$

Trong 3 số a,b,c có hai sô cùng dấu.Giả sử $bc\geq 0\Rightarrow \sum a^{2}\leq a^{2}+(b+c)^{2}=2a^{2}\leq 2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow Đpcm$