Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 trungtck41

trungtck41

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Đã gửi 15-05-2015 - 22:43

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-05-2015 - 22:52


#2 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 15-05-2015 - 22:46

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2

x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}

Bạn xem lại đề bài kìa  :wacko:  :wacko:  :wacko:

Cho x,y,z thuộc đoạn (0;1) và $x+y+z=\frac{3}{2}$

Chứng minh $x^2+y^2+z^2\leq \frac{5}{4}$


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#3 vda2000

vda2000

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{Bac Giang gifted High School}}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{\rightarrow\bigstar\epsilon\delta\mu\bigstar\leftarrow}}$

Đã gửi 15-05-2015 - 22:50

 

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2

x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}

Ta có: $0\leq x,y,z\leq 1$

$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\leq 0$

$\Leftrightarrow xyz+x+y+z\leq xy+yz+zx+1$ mà $xyz\geq 0$ nên: 

$\Leftrightarrow 0+\frac{3}{2}\leq xy+yz+zx+1$

$\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\leq\frac{3^2}{2^2}-2.\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq\frac{5}{4}$


$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!


#4 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 15-05-2015 - 22:57

Cho x, y, z thuộc đoạn [0;1] và x+y+z=3/2
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \frac{5}{4}$

Giả sử $1\geq x\geq y\geq z\geq 0$

Từ giả thiết rút ra được $(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0 => xyz+\frac{1}{2}\leq xy+yz+zx$

=> $xy+yz+xz\geq \frac{1}{2}$

nên $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+xz)\leq \frac{5}{4}$

Dấu bằng xảy ra <=> x=1;y=0,5;z=0


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5 Lee LOng

Lee LOng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Once Upon A Time
  • Sở thích:Giải BĐT , xem hoạt hình ,hóa học

Đã gửi 15-05-2015 - 22:59

Đặt  $x=a+\frac{1}{2};y=b+\frac{1}{2};z=c+\frac{1}{2}\Rightarrow a;b;c\epsilon [\frac{-1}{2};\frac{1}{2}]$ và $a+b+c=0$

BĐT$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c+\frac{3}{4}\leq \frac{5}{4}\Leftrightarrow \sum a^{2}\leq \frac{1}{2}$

Trong 3 số a,b,c có hai sô cùng dấu.Giả sử $bc\geq 0\Rightarrow \sum a^{2}\leq a^{2}+(b+c)^{2}=2a^{2}\leq 2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow Đpcm$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh