Chủ đề này có 4 trả lời

[Taj Staravarta]

cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=4. Chứng minh $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 4$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a$ và $0<b<1$ sẽ thấy điều vô lý.

Đâu có đâu, a=b=0 còn c=4 thì vế trái đúng bằng 4 mà bạn

[dogsteven]

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}\geqslant \sqrt{2a+b+c-4}+2\Leftrightarrow bc\geqslant 0$ luôn đúng.

Do đó ta cần chứng minh $\sqrt{4-a}+\sqrt{a}\geqslant 2$ luôn đúng vì $\sqrt{4-a}+\sqrt{a}\geqslant \sqrt{4-a+a}=2$

[Hoang Nhat Tuan]

cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=4. Chứng minh $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 4$

Đặt: $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

$A^2=2(a+b+c)+2(\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(a+b)})$

Đặt x=a+b;y=b+c;z=a+c, cần chứng minh $2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}\geq x+y+z$

$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq \sqrt{z}$ ( luôn đúng vì $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}\geq \sqrt{a+c+2b}\geq \sqrt{a+c}$)

Do đó: $\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\geq z$

Thiết lập 2 cái sau rồi cộng 3 cái lại với nhau => ĐPCM

[Hoang Nhat Tuan]

cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=4. Chứng minh $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 4$

Nếu đề bài có tìm max thì làm như sau:

$A^2=2(a+b+c)+2\sum \sqrt{(a+b)(b+c)}\leq 2(a+b+c)+\sum (a+2b+c)=2(a+b+c)+4(a+b+c)=6(a+b+c)=24$

=> $A\leq 2\sqrt{6}$