Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm Min P=$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 lethuhuyen14

lethuhuyen14

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 16-05-2015 - 10:19

 Cho các số thực a,b,c dương không đồng thời bằng 0 thỏa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

                    P=$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+c^{2}}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 16-05-2015 - 11:03


#2 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 27-05-2015 - 13:18

Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong các số $a,b,c$

Do tính đúng đắn của $a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2, b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2, a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2$

Đặt $a+\frac{c}{2}=x,b+\frac{c}{2}=y$ ta sẽ chứng minh:

$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$

tức là: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{12}{x^2+y^2}\geq \frac{32}{(x+y)^2}$

$VT=(\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{4}{x^2+y^2})+\frac{8}{x^2+y^2}\geq \frac{8}{2xy}+\frac{8}{x^2+y^2}\geq VP$

Thay $x+y=1$ ta có min=$32$

Dấu bằng khi $a=b=0,5,c=0$


NgọaLong

#3 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 27-05-2015 - 13:20

BĐT trên là mở rộng của một BĐT rất hay, được gọi phổ biến là BĐT $vac's$

$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{10}{(\sum a)^2}$


NgọaLong

#4 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 27-05-2015 - 14:09

Giả sử $c$ là số nhỏ nhất trong các số $a,b,c$

Do tính đúng đắn của $a^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2, b^2+c^2\leq (b+\frac{c}{2})^2, a^2+b^2\leq a^2+b^2+c^2\leq (a+\frac{c}{2})^2+(b+\frac{c}{2})^2$

Đặt $a+\frac{c}{2}=x,b+\frac{c}{2}=y$ ta sẽ chứng minh:

$\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$

tức là: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{12}{x^2+y^2}\geq \frac{32}{(x+y)^2}$

$VT=(\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{4}{x^2+y^2})+\frac{8}{x^2+y^2}\geq \frac{8}{2xy}+\frac{8}{x^2+y^2}\geq VP$

Thay $x+y=1$ ta có min=$32$

Dấu bằng khi $a=b=0,5,c=0$

Em cũng không biết như thế nào nhưng mà nếu $a=b=c=\frac{1}{3}$ thì $P=\frac{33}{2}< 32$ nữa ạ  :wacko:



#5 Melodyy

Melodyy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Mathematic
    Fan chị Hà

Đã gửi 27-05-2015 - 14:28

Bạn đó nhầm ở $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$
Thực ra chỉ $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x^2+y^2}\geq \frac{12}{(x+y)^2}$
CM $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\frac{x^2+y^2}{2x^2y^2}+\frac{2}{x^2+y^2}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{2(x^2+y^2)}{4(xy)^4})}\geq \frac{12}{4xy}\geq \frac{12}{(x+y)^2}=12$







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh