Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{16(ab+bc+ca)}{5(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{18}{5} $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 16-05-2015 - 19:21

Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng: $ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{16(ab+bc+ca)}{5(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{18}{5} $



#2 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 16-05-2015 - 20:11

Ta cũng có bài toán sau : 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{(\sqrt{3}-1)(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}+\sqrt{3}$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#3 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 16-05-2015 - 22:03

Ta cũng có bài toán sau : 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{(\sqrt{3}-1)(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}+\sqrt{3}$

 

Ta cũng có bài toán sau : 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{(\sqrt{3}-1)(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{1}{2}+\sqrt{3}$

anh có thể chỉ em cái hướng giải quyết được không ạ



#4 binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội
  • Sở thích:Tự kỉ một mình,...

Đã gửi 17-05-2015 - 07:37

anh có thể chỉ em cái hướng giải quyết được không

Dùng S.O.S hoặc S-S


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#5 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 19-05-2015 - 01:20

bài trên sử dụng dồn biến về biên  dấu bằng khi 1 số bằng 0 ,2 số còn lại bằng nhau g/s a>=b>=c>=0

 chuẩn hóa a+b+c=2 thì ta cần cm (a+b+c) (1/(a+b) +1/(b+c)+1/(c+a))+8(a+b+c)^2/5(a^2+b^2+c^2)>=41/5

dồn biến f(a;b;c)>=f(a;b+c;0) bằng nhóm đơn giản tương đương với bc [64/(5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2))- ((2a+b+c)/(2(a+b)(a^2+ac))]>=0

do bc >=0 rồi nên chỉ cần cm 128(a+b)(a^2+ac)>=5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2)(2a+b+c)  trông có vẻ lằng nhằng nhưng cái này đánh giá bừa cũng đc

chú ý a^2+b^2+c^2 <=2(a^2+ac) và 2(a+b)=(a+b+c)(a+b)>=a^2+(b+c)^2  nên ta chỉ cần cm 32 >=5(2a+b+c) hiển nhiên đúng do 2a+b+c<=4 

còn lại thì đơn giản rồi



#6 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Đã gửi 19-05-2015 - 08:02

Bài toán tổng quát:

 

Xác định số thực $k$ lớn nhất sao cho BĐT sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+k.\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq k+\frac{3}{2}$

 

Số $k$ tốt nhất là $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$



#7 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 19-05-2015 - 21:46

bài toán trên mà là tổng quát ? tìm gtnn theo k mới là bài toán tổng quát , ở trên k là 16/5 đã lớn hơn (căn3-1)/2 khá nhiều 



#8 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 19-05-2015 - 21:47

thực ra với mọi k >=(căn3-1)/2 thì dấu bằng xảy ra khi  hai biến bằng nhau và 1 số lại bằng 0 , chứng minh bằng dùng hàm số đơn giản thôi



#9 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 02-06-2015 - 02:18

Đặt:$p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$
Chuẩn hóa $p=1$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:$r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge \frac{4q-1}{9}\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b;c=0$ và các hoán vị



#10 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Đã gửi 02-06-2015 - 07:18

Đặt:$p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$
Chuẩn hóa $p=1$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:$r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ 0;\frac{1}{4} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Nếu $q\in \left[ \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right]$ thì $r\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge \frac{4q-1}{9}\left( 33-82q \right)+72{{q}^{2}}-38q+5\ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b;c=0$ và các hoán vị

Xét trường hợp dùng AM-GM thì hơn.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh