Chủ đề này có 5 trả lời

[MinhDucCay2000]

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$ thì $abc$ là lập phương của 1 số nguyên

[ZzNightWalkerZz]

Để ý $1 = \sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}$

$=> \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} (đ.p.c.m) $

 hoặc $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} +\sqrt[3]{\frac{b}{c}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a}} = 0$

$<=> \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \frac{b}{\sqrt[3]{abc}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a}} = 0$

$<=> \sqrt[3]{\frac{a}{b}}.(\frac{b}{\sqrt[3]{abc}} + 1) + \sqrt[3]{\frac{c}{a}} = 0$

$<=> \frac{b}{\sqrt[3]{abc}} + 1 + \frac{\sqrt[3]{abc}}{a} = 0$

$=> ab + a\sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{abc}^{2} = 0$

$=> \sqrt[3]{abc}(a + \sqrt[3]{abc}) \in Q$

$<=>(\sqrt[3]{abc} + m)^2 \in Q (m = \frac{a}{2})$ (1)

CMTT $(\sqrt[3]{abc} + n)^2 \in Q (m = \frac{b}{2})$ (2)

Lấy $(1) - (2) : (m - n)(2\sqrt[3]{abc} + m + n) \in Q$

$=> m = n => đ.p.c.m$ (Mọi người tự CM)

 hoặc $2\sqrt[3]{abc} + m + n \in Q => \sqrt[3]{abc} \in Q$

Mà $a,b,c \in Z => \sqrt[3]{abc} \in Z => đ.p.c.m$

[Hoangtheson2611]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c mà $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$

=> a=b=c

abc=a$^{3}$=> đpcm

[Pham Quoc Thang]

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c mà $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$

=> a=b=c

abc=a$^{3}$=> đpcm

a,b,c nguyên,không phải nguyên dương bạn à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Quoc Thang: 16-05-2015 - 23:31

[hoctrocuaHolmes]

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$ thì $abc$ là lập phương của 1 số nguyên

$abc$ là lập phương của 1 số nguyên nên ta phải chứng minh $\sqrt[3]{abc}$ là số nguyên

Sau đó giải tiếp ở đây

http://diendantoanho...-z/#entry558797

[Grey Rabbit]

Để ý $1 = \sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}$

$=> \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} (đ.p.c.m) $

 hoặc $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} +\sqrt[3]{\frac{b}{c}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a}} = 0$

$<=> \sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \frac{b}{\sqrt[3]{abc}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a}} = 0$

 

Chỗ từ dòng 3->4 mình chưa hiểu lắm :<