Chủ đề này có 1 trả lời

[A piece of life]

Tìm $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn $\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}$ là số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

[the man]

Tìm $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn $\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}$ là số hữu tỉ và $x^2+y^2+z^2$ là số nguyên 

 

Đặt $\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}(m,n\in Z,n>0),(m,n)=1$

      $\Rightarrow xn-my=(yn-mz)\sqrt{2015}$

Do $\sqrt{2015}$ là số vô tỉ nên 

  $\left\{\begin{matrix}xn-my=0 & & \\ yn-mz=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}xn=my & & \\mz=yn & & \end{matrix}\right.\Rightarrow xmnz=my^2n\Rightarrow xz=y^2$

     $\Rightarrow x^2+y^2+z^2=(x+z)^2-2xz+y^2=(x+z)^2-y^2=(x+y+z)(x-y+z)$

Do $x^2+y^2+z^2$ nguyên tố, $x+y+z \geq3$ nên $x-y+z=1$

     $\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x+y+z$ (1)

Mặt khác do $x,y,z$ là các số nguyên dương nên $x^2 \geq x, y^2 \geq y, z^2 \geq z$

    $\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq x+y+z$

Do (1) nên ta có $x=y=z=1$

Thử vào đầu bài ta thấy thỏa mãn