Chủ đề này có 4 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x+y}{x+1}}+\sqrt{\frac{y+z}{y+1}}+\sqrt{\frac{z+x}{z+1}}\geq 3$

[dang123]

$\sum \sqrt{\frac{x+y}{x+1}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+1)(y+1)(z+1)}}}$

chỉ cần cm $(x+y)(y+z)(z+x)\geq (x+1)(y+1)(z+1)$

$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\geq \sum \frac{4}{x}-\sum \frac{2}{xy}\geq \sum \frac{1}{xy}+\sum \frac{1}{x}$

$\Rightarrow \sum xy(x+y)\geq \sum x+\sum xy$ dpcm

[duaconcuachua98]

$\sum \sqrt{\frac{x+y}{x+1}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+1)(y+1)(z+1)}}}$

chỉ cần cm $(x+y)(y+z)(z+x)\geq (x+1)(y+1)(z+1)$

$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\geq \sum \frac{4}{x}-\sum \frac{2}{xy}\geq \sum \frac{1}{xy}+\sum \frac{1}{x}$

$\Rightarrow \sum xy(x+y)\geq \sum x+\sum xy$ dpcm

chỗ này làm rõ hơn đi bạn !!

[dang123]

co si di ban

[Pham Quoc Thang]

chỗ này làm rõ hơn đi bạn !!

$(x+y)(y+z)(z+x)=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2$
$(x+1)(y+1)(z+1)=xy+yz+zx+x+y+z+2$
Đặt: $p=x+y+z;q=xy+yz+zx;r=xyz=1\Rightarrow p,q \geq 3$
$(x+y)(y+z)(z+x)-(x+1)(y+1)(z+1)=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)-xy-yz-zx-x-y-z=pq-3r-(q+p)=pq-3-p-q=(p-1)(q-1)-4 \geq 2.2-4=0 $