Bài toán. Chứng minh rằng phương trình $$x^{7}+y^{7}=1998^{z}$$ không có nghiệm nguyên dương.
$x^{7}+y^{7}=1998^{z}$
#1
Đã gửi 17-05-2015 - 16:21
#2
Đã gửi 18-05-2015 - 07:13
Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $x,y$ thì $x=da, y=db$ sao cho $(a,b)=1$
Khi đó $d^7( a^7+b^7)=1998^z$ $(*)$
Nếu $a=b=1$ thì dễ thấy vô lý nên $(a,b)\neq (1,1)$
Khi đó vì $(a,b)=1$ nên áp dụng định lý Zsigmondy's thì luôn tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p|a^7+b^7$ và $p$ không là ước của $a+b$
Từ $(*)$ suy ra $p=2,3,37$
+) Nếu $p=2$ thì vô lí
+) Nếu $p=3$ thì do $(a,b)=1$ và $a+b$ không chia hết cho $3$ nên $a\equiv b\equiv -1,1$ ( mod $3$)
Khi đó $a^6-a^5b+.....-ab^5+b^6\equiv 1$ (mod $3$) nên $a^7+b^7$ không chia hết cho $3$ (loại )
+) Nếu $p=37$ . Do $(a,b)=1$ nên $(a,37)=(b,37)=1$
$a^7\equiv -b^7$ (mod $37$) $\rightarrow a^{35}\equiv -b^{35}$ (mod $37$ ) $(1)$
Mặt khác theo định lí Fermat thì $a^{36}\equiv b^{36}\equiv 1$ (mod $37$) $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ dễ dàng suy ra $37|a+b$ ( vô lí)
Do đó không tồn tại số $p$ thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm
- davidsilva98, Belphegor Varia, nhungvienkimcuong và 3 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh