Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=65$ .

Chứng minh rằng:$x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha \leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$ với mọi $\alpha \in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

[hoangmanhquan]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=65$ .

Chứng minh rằng:  $x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha \leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$ với mọi $\alpha \in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta có:

$(x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha )^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1+2sin^2\alpha +sin^22\alpha )$

$=65.(1+2sin^2\alpha +4sin^2\alpha cos^2\alpha )$

$=65.[1+2sin^2\alpha (1+2cos^2\alpha )]$

$\leq 65.[1+\frac{(2sin^2\alpha +2cos^2\alpha +1)^2}{4}]=\frac{845}{4}$

$=>($x+y\sqrt{2}sin\alpha +zsin2\alpha\leq \frac{13\sqrt{5}}{2}$

Dấu "=" xảy ra $<=>$

$\left\{\begin{matrix} \alpha =\frac{\pi }{3}\\ x=2\sqrt{5} \\ y=\sqrt{30} \\ z=\sqrt{15} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 21-05-2015 - 11:58