Chủ đề này có 2 trả lời

[maythatyeuduoishit]

Với $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=4$$(a,b,c>0)$.Chứng minh $\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}< 4$

[Lee LOng]

Ta có:

$8=(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{b}+\frac{c}{a})+(\frac{c}{a}+\frac{b}{c})\geq 2\sum \sqrt{\frac{ab}{bc}}=2\sum \sqrt{\frac{a}{c}}$.

Dấu $'='$ không xảy ra 

$\Rightarrow Đpcm$

[Nhok Tung]

Áp dụng BĐT AM-GM có $\frac{a}{b} +\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{a}{c}}$, tương tự, cộng vế theo vế được:

$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 2(\sum \sqrt{\frac{b}{a}})$ 

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{b}{a}}\leq \sum \frac{a}{b}=4$, nhưng dấu = không xảy ra $\Rightarrow$ đpcm