Với $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=4$$(a,b,c>0)$.Chứng minh $\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}< 4$
Chứng minh $\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}< 4$
Bắt đầu bởi maythatyeuduoishit, 18-05-2015 - 15:32
#1
Đã gửi 18-05-2015 - 15:32
#2
Đã gửi 18-05-2015 - 15:39
Ta có:
$8=(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{b}+\frac{c}{a})+(\frac{c}{a}+\frac{b}{c})\geq 2\sum \sqrt{\frac{ab}{bc}}=2\sum \sqrt{\frac{a}{c}}$.
Dấu $'='$ không xảy ra
$\Rightarrow Đpcm$
- Truong Gia Bao yêu thích
#3
Đã gửi 18-05-2015 - 16:30
Áp dụng BĐT AM-GM có $\frac{a}{b} +\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{a}{c}}$, tương tự, cộng vế theo vế được:
$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 2(\sum \sqrt{\frac{b}{a}})$
$\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{b}{a}}\leq \sum \frac{a}{b}=4$, nhưng dấu = không xảy ra $\Rightarrow$ đpcm
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh