Đến nội dung

Hình ảnh

Nếu $p^{2l-1}m(mn+1)^2+m^2$ là một số chính phương thì $m$ cũng chính phương

- - - - - tổng hợp đề 2015

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

$\boxed{\text{Problem 1}}$ (Turkey TST 2015)

Cho $l,m,n$ là các số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $p^{2l-1}m(mn+1)^2+m^2$ là một số chính phương thì $m$ cũng là một số chính phương.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 18-05-2015 - 20:49

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Phương trình $m(p^{2l-1}(mn+1)^2+m)=a^2(a\in \mathbb{N}^*)$

 

TH1 :$gcd(m,p^{2l-1}(mn+1)^2+m)=1$ thì hiển nhiên $m$ là số chính phương

 

TH2 :$gcd(m,p^{2l-1}(mn+1)^2+m)=d$ ( $d>1$) thì $d|p^{2l-1}\rightarrow d=p^k$ ( $k\leq 2l-1$)

Lúc đó đặt $m=p^k.t$. Dễ thấy $(t,p)=1$

Phương trình trở thành $t(p^{2l-1-k}(mn+1)^2+t)=u^2$ ( $up^k=a$) có $(t,p^{2l-1-k}(mn+1)^2+t)=1$ nên $\left\{\begin{matrix} t=x^2 & \\ p^{2l-1-k}(mn+1)^2+t=y^2 & \end{matrix}\right.$

Để kết thúc bài toán thì ta cần chứng minh $k$ chẵn. Giả sử $k$ lẻ thì $2l-1-k$ chẵn . Đặt $2l-1-k=2u$ thì

$[p^u(mn+1)^2]+x^2=y^2$ là số chính phương

 

Mà $[p^u(mn+1)]^2<[p^u(mn+1)]^2+x^2=[p^u(mn+1)]^2+\frac{m}{p^k}<[p^u(mn+1)+1]^2$ nên điều trên vô lí

Vậy $k$ chẵn. Do đó $m=p^kx^2$ là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 02-06-2015 - 23:31


#3
NguyenDangHuyYTNA

NguyenDangHuyYTNA

    Binh nhất

  • Banned
  • 41 Bài viết

 

TH2 :$gcd(m,p^{2l-1}(mn+1)^2+m)=d$ ( $d>1$) thì $d|p^{2l-1}\rightarrow d=p^k$ ( $k\leq 2l-1$)

.Đoạn này sao có $p^2l-1$ chia hết cho d vậy bạn.



#4
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

 

.Đoạn này sao có $p^2l-1$ chia hết cho d vậy bạn.

 

$d|p^{2l-1}(mn+1)^2+m$ mà $d|m$ nên $d|p^{2l-1}(mn+1)^2$. Mà $(mn+1,m)=1$ nên $(mn+1,d)=1$ do đó $d|p^{2l-1}$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tổng hợp đề 2015

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh