ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM KỲ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI : TOÁN CHUYÊN
ĐỀ BÀI :
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) $\sqrt{u^2-u-1} + \sqrt{u^2+u+3} = \sqrt{2u^2+8}$
b) $x^3 + x + \sqrt[3]{x^3+x-2} = 12$
Bài 2 : Giả sử a,b và x,y là các số thực sao cho :
$a + b = 23$ ; $ax + by = 79$
$ax^2 + by^2 = 217$ ; $ax^3 + by^3 = 691$
Hãy tính S = $ax^4 + by^4$
Bài 3 :
a) Cho 6 điểm bất kì trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng , mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh hoặc đỏ , CMR : Tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh cùng màu .
b) Cho 17 điểm bất kì trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng , Mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh , đỏ hoặc vàng , CMR : Tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh cùng màu .
Bài 4 :
a) Các số nguyên dương a và b có đúng 99 ước số ( kể cả 1 và chính nó ) , hỏi liệu có thể xảy ra trường hợp số a.b có đúng 1000 ước số hay không ? .
b) Trên tập hợp các số thực cho phép toán * đặt tương ứng với 2 số a và b thành kết quả , kí hiệu là a*b , biết rằng đẳng thức (a*b)*c = a + b +c đúng với mọi a,b,c ; CMR : a*b = a + b .
Bài 5 :
Giả sử a(n) là số cách biểu diễn số nguyên dương n dưới dạng tổng quát các số 1 và 2 :
Ví dụ : 5 = 1+1+1+1+1 = 2+1+1+1 = 1+2+1+1 + 1+1+2+1 = 1+1+1+2 = 2 + 2 + 1 = 2+1+2 = 1+2+2
Nên a(n) = 5
Giả sử b(n) là số cách biểu diễn số nguyên dương n dưới dạng tổng quát các số nguyên lớn hơn 1 ( bao gồm cả cách biểu diễn là chính số đó ) :
Ví dụ : 7 = 3+2+2 = 2+3+2 = 2+2+3 = 3+4 = 4+3 = 2+5 = 5+2
Nên b(n) = 8
Chứng minh rằng : a(n) = b(n+2) với mọi số n nguyên dương
Bài 6 :
Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC , Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC , AC , AB lần lượt tại D,E,F , Gọi M,N là trung điểm của EF và DF . Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P .
a) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp
b) Chứng minh IP vuông góc với AD
c) Chứng minh $\frac{PB}{PC} =\frac{DB}{DC}$
HẾT
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi devilloveangel: 21-05-2015 - 18:04
$a*b$ có thể là bất kỳ hàm hai biến nam cũng chỉ là các phép toán cộng trừ nhân chia khai căn lũy thừa và logarit đâu.
