Chủ đề này có 1 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 19-05-2015 - 21:04

[xxSneezixx]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} (1) & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} (2) & \end{matrix}\right. (x, y \neq 0) $

$(1)- (2)\Leftrightarrow x=y \vee x+y +\frac{3}{2} - \frac{(x+y)(x^2 +y^2)}{x^2 y^2}= \frac{7(x+y)}{2xy}(3)$

$(1)+(2)\Leftrightarrow x^2 +y^2 -\frac{3}{2}(x+y) + \left(\frac{x^2}{y^2 }+ \frac{y^2 }{x^2} \right )= \frac{7}{2}\left(\frac{x^2 +y^2}{xy}\right)( 4) $

Đặt $S= x+y, P= xy ( S^2 -4P \geq 0)  $, ta có: 

$(3)\wedge (4)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-S^3 -\frac{3}{2}PS + P^2S+ \frac{3}{2}P^2 =0 (5) \\ S^4 - \frac{15}{2}PS^2 +P^2S^2- \frac{3}{2}P^2S +9P^2 - 2P^3 =0  (6)\end{matrix}\right.$

$S(5)+ (6)\Leftrightarrow P= \frac{9}{2}\vee P=0(L) \vee S^2 = P(L)$

$\bullet x =y, (1)\Leftrightarrow x= \frac{5}{2 }\vee x= -1$

$\bullet P = \frac{9}{2}, (5) \Leftrightarrow x= 3 \vee x =\frac{3}{2}$

Thử lại thấy thỏa. 

 

Vậy $\left(x,y \right )= \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right), (-1,-1), \left(\frac{3}{2},3\right ), \left(3 ,\frac{3}{2}\right )$

p/s : ko biết có cách nào ngắn hơn ko :v