Chủ đề này có 8 trả lời

[yeutoanmaimai1]

1,Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ Tìm max của $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ac}{a^{5}+c^{5}+ca}$

2,Cho $2\leq a,b,c,d\leq 3$ Chứng minh $\frac{2}{3}\leq \frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$

3,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ Tìm max của $Q=abc$

4,Cho $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Tìm max của$B=xy+yz+zx+\frac{1}{2}(x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2})$

5,Cho $x,y$ nguyên dương sao cho $x+y=201$.Tìm max,min của $A=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

6,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

[tonarinototoro]

1,Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ Tìm max của $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ac}{a^{5}+c^{5}+ca}$

 

ta cm bđt phụ với $x,y> 0$ có $x^{5}+y^{5}\geq x^{2}y^{2}\left ( x+y \right )$

bđt $\Leftrightarrow \left ( x-y \right )^{2}\left ( x+y \right )\left ( x^{2} +xy+y^{2}\right )\geq 0$ luôn đúng với $x,y>0$

áp dụng bđt trên có $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leq \frac{ab}{a^{2}b^{2}\left ( a+b \right )+ab}= \frac{1}{ab\left ( a+b \right )+1}= \frac{c}{a+b+c}$ (vì $abc=1$)

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại có đpcm

[Nguyen Minh Hai]

1,Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ Tìm max của $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ac}{a^{5}+c^{5}+ca}$

 

Bài 1: Sử dụng $x^5+y^5 \geq x^2y^2(x+y)$

[hoctrocuaHolmes]

1,Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ Tìm max của $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ac}{a^{5}+c^{5}+ca}$

1.Áp dụng BDT phụ $a^{5}+b^{5}\geq a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}$

Chứng minh: Ta có $a^{5}+b^{5}-a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3}=(a-b)^{2}(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0\rightarrow đpcm$

Thay vào BDT đã cho ta có

$A=\sum \frac{ab}{a^{2}b^{3}+b^{2}a^{3}+ab}=\sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{1}{\frac{a+b}{c}+1}=\sum \frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

(vì $abc=1$)

Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Vậy $MaxA=1$ $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[HoangVienDuy]

3,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$ Tìm max của $Q=abc$

$\frac{1}{c+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}\Leftrightarrow \frac{1}{c+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

thiết lập các bđt tương tự $\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 8\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

[HoangVienDuy]

2,Cho $2\leq a,b,c,d\leq 3$ Chứng minh $\frac{2}{3}\leq \frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$

ta có: $(3-a)(d-2)\geq 0\Leftrightarrow 3d-6-ad+2a\geq 0\Leftrightarrow 2a+3d-ad\geq 6$

$a(c-d)+3d=ac-ad+3d\geq 2a+3d-ad\geq 6$

ta có $(b-3)(c-3)\geq 0\Leftrightarrow 3c+3b-bc\leq 9$

$b(d-c)+3c=bd-bc+3c\leq 3d+3c-bd\leq 9$

nên $\frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\geq \frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

cái còn lại chắc tương tự :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 19-05-2015 - 21:27

[Dinh Xuan Hung]

 

6,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Từ BĐT cần chứng minh chia cả hai vế cho $\sqrt{abc}\Rightarrow$ ta cần chứng minh:
$\sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ac}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}}\geq 1 +\sqrt{\frac{1}{ab}}+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ac}}$
Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow x+y+z=1(1) \Leftrightarrow \sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\Leftrightarrow \sqrt{(x+y)(x+z)}+\sqrt{(y+x)(y+z)}+\sqrt{(x+z)(y+z)}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$(d0 a+b+c=1)
BĐT trên luôn đúng :(BĐT BU-NHI-A)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-05-2015 - 21:30

[Dinh Xuan Hung]

 

5,Cho $x,y$ nguyên dương sao cho $x+y=201$.Tìm max,min của $A=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

 

$A=x^3+y^3+xy+yx=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=201^3-605xy$

Đặt $S=xy=x(201-x)$

Ta có :$x+y=201\Rightarrow 1\leq x\leq 200$

$S=200-(x-1)(x-200)\geq 200\Rightarrow S_{min}=200$

Giả sử $x\leq y\Rightarrow x\leq 100$

$\Rightarrow S=100.101-(x-101)(x-100)\leq 100.101\Rightarrow S_{max}=100.101$

Từ đấy suy ra $GTLN$ và $GTNN$ của $A$

[Nguyen Minh Hai]

Từ BĐT cần chứng minh chia cả hai vế cho $\sqrt{abc}\Rightarrow$ ta cần chứng minh:
$\sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ac}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}}\geq 1 +\sqrt{\frac{1}{ab}}+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ac}}$
Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow x+y+z=1(1) \Leftrightarrow \sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\Leftrightarrow \sqrt{(x+y)(x+z)}+\sqrt{(y+x)(y+z)}+\sqrt{(x+z)(y+z)}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$(d0 a+b+c=1)
BĐT trên luôn đúng :(BĐT BU-NHI-A)

Ở bước chia đầu tiên sao lại $1$ ???