Chủ đề này có 12 trả lời

[Trung Gauss]

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG

Năm học: 2014-2015

Thời gian: 150 phút

 

I. Phần chung (Cho tất cả thí sinh):

Câu 1 (4 điểm):

      a. Cho $x, y, z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=2$. CMR: $$x^3+y^3+z^3\le 1+\dfrac{1}{2}(x^4+y^4+z^4)$$

      b. Xét số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện $36x^2+16y^2=9$. Tìm GTLN và GTNN của $P=y-2x+5$

Câu 2 (4 điểm):

 Giải phương trình: $$x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2x+1$$ 

Câu 3 ( điểm):

 Giả sử $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ ($D$ khác $B, C$) của tam giác $ABC$. Gọi $E, F$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD, ACD$. CMR nếu $B, C, D, F$ đồng viên thì $\dfrac{AD+BD}{AD+DC}=\dfrac{AB}{AC}$

Câu 4 (2 điểm):

  Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a, b$ là hai số tự nhiên sao cho $a+b$ chia hết cho $p$ và $a-b$ chia hết cho $p-1$. CMR $a^b+b^a$ chia hết cho $2p$

Câu 5 (2 điểm): 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x^2)=f(y).f(2x-y)+(y-x)^2,\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Câu 6 ( điểm): 

Đề thi HKII môn Vật lý có $50$ câu trắc nghiệm, mỗi câu có $4$ phương án. Trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được $0,2$ điểm. Một thí sinh làm được $40$ câu trong đó có $32$ câu đúng. Ở $10$ câu còn lại thí sinh chọn ngẫu nhiên $1$ trong $4$ phương án. Tính xác suất để thí sinh đạt $8$ điểm trở lên.

II. Phần tự chọn (HS chọn câu 7a hoặc câu 7b):

Câu 7a: (2 điểm)

  Cho $a, c>0$. Xét dãy số: $$\begin{cases}x_1=a\\x_{n+1}=c x^2_{n}+x_n,\forall n\in\mathbb{N^*}\end{cases}$$. CMR:$x_n\ge \sqrt{c^{n-1}.n^n.a^{n+1}},\forall n\in\mathbb{N^*}$.

Câu 7b: (2 điểm)

 Do sản xuất bị lỗi, một mảnh vải hình vuông cạnh $1,2$m có $31$ lỗ thủng nhỏ như kim châm. Có thể lợi dụng mảnh vải này để cắt ra một khăn nhỏ hình tròn bán kính $0,1$m không chứa lỗ thủng nào cả hay không?

 

Nguồn: Đề được lấy từ FB của bạn Phạm Quốc Thắng- Hades Phạm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 20-05-2015 - 16:03

[longatk08]

Bài 1:

 

Đặt $p=x+y+z=2,q=xy+yz+xz,r=xyz$ thì BĐT được viết lại:

$f(r)=r-2q+q^2+1\geq 0$

Khỏi cần chia 2 trường hợp đánh giá luôn $r\geq 0$ thì BĐT tương đương với

$f(r)=(q-1)^2\geq 0$ hiển nhiên đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1,z=0$ hay các hoán vị.

[Trung Gauss]

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG

Năm học: 2014-2015

Thời gian: 150 phút

 

 

Câu 5 (2 điểm): 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x^2)=f(y).f(2x-y)+(y-x)^2,\forall x,y\in\mathbb{R}$$

 

 

 

Lời giải:

 Trong $(*)$ cho $x=y$ ta được: $$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Trong $(1)$ lấy $x=0$ ta được $f(0)=0\vee f(0)=1$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$, trong $(*)$ cho $y=0$ ta được: $$\begin{aligned}&\;\;\;\;f(x^2)=x^2\\&\Leftrightarrow f^2(x)=x^2, \forall x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$ Từ đây suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại ta thấy chỉ có hàm số $f(x)=x,\forall x\in\mathbb{R}$ thỏa mãn bài toán.

Trường hợp 2: $f(0)=1$, trong $(*)$ cho $y=0$, ta được: $$f(x^2)=f(2x)+x^2,\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ Trong $(*)$ thay $y$ bởi $x-y$ ta được: $$f(x^2)=f(x-y)f(x+y)+y^2,\forall x,y\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ Kết hợp $(2)$ và $(3)$ ta được: $$f(2x)+x^2=f(x+y).f(x-y)+y^2,\forall x, y\in\mathbb{R}$$ Đặt $a=x+y,\;b=x-y, \;a,b\in\mathbb{R}$ ta được: $$f(a+b)+ab=f(a).f(b),\forall a,b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ Trong $(*)$, ta thay $y$ bởi $b$, $2x-y$ bởi $a$, ta được: $$f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)=f(a).f(b)-\dfrac{(a-b)^2}{4},\forall a, b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ Kết hợp $(4)$ và $(5)$ ta được:  $$\begin{aligned}&\;\;\;f(a+b)+ab=f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)-\dfrac{(a-b)^2}{4},\forall a, b\in\mathbb{R}\\&\Leftrightarrow 4f(a+b)=4f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)-(a+b)^2,\forall a,b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)\end{aligned}$$ Trong $(6)$ cho $a+b=4$ ta được $-4^2=0$, vô lý.

Vậy chỉ có hàm số thỏa mãn bài toán: $$f(x)=x,\forall x\in\mathbb{R}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 21-05-2015 - 11:58

[Son Phan]

f(x)=-x ko đúng mà

[Nguyen Giap Phuong Duy]

 

Lời giải:

 Trong $(*)$ cho $x=y$ ta được: $$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Trong $(1)$ lấy $x=0$ ta được $f(0)=0\vee f(0)=1$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$, trong $(*)$ cho $y=0$ ta được: $$\begin{aligned}&\;\;\;\;f(x^2)=x^2\\&\Leftrightarrow f^2(x)=x^2, \forall x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$

Từ đây suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại ta thấy hai hàm số này thỏa mãn bài toán.

 

$f(0)=0$
thay $y=0$ vào (*) ta có $f(x^2)=x^2$, suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \ge 0$
thay $x=0$ vào (*) ta có $f(0)=f(y)f(-y)+y^2$

suy ra $f(y)f(-y)=-y^2, \forall y \Longrightarrow xf(-x)=-x^2, \forall x>0$

$\Longrightarrow f(-x)=-x, \forall x>0$

kết hợp $f(0)=0$ suy ra $f(x)=x, \forall x$

Vậy chỉ có một hàm thỏa bài toán thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Giap Phuong Duy: 21-05-2015 - 11:47

[Trung Gauss]

$f(0)=0$
thay $y=0$ vào (*) ta có $f(x^2)=x^2$, suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \ge 0$
thay $x=0$ vào (*) ta có $f(0)=f(y)f(-y)+y^2$

suy ra $f(y)f(-y)=-y^2, \forall y \Longrightarrow xf(-x)=-x^2, \forall x>0$

$\Longrightarrow f(-x)=-x, \forall x>0$

kết hợp $f(0)=0$ suy ra $f(x)=x, \forall x$

Vậy chỉ có một hàm thỏa bài toán thôi

 

Oh thử nhầm  

[Son Phan]

$f(0)=0$
thay $y=0$ vào (*) ta có $f(x^2)=x^2$, suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \ge 0$
thay $x=0$ vào (*) ta có $f(0)=f(y)f(-y)+y^2$

suy ra $f(y)f(-y)=-y^2, \forall y \Longrightarrow xf(-x)=-x^2, \forall x>0$

$\Longrightarrow f(-x)=-x, \forall x>0$

kết hợp $f(0)=0$ suy ra $f(x)=x, \forall x$

Vậy chỉ có một hàm thỏa bài toán thôi

tôi lam gióng ri nè

[Son Phan]

cho em hỏi bài bất đẳng thức làm ren, đọc cái trên kia không hiểu gì cả

[Bui Ba Anh]

Bài hình đề sai r kìa, phải là $B,C,E,F$ chứ nhỉ

[lehoangphuc1820]

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG

Năm học: 2014-2015

Thời gian: 150 phút

 

I. Phần chung (Cho tất cả thí sinh):

 

Câu 2 (4 điểm):

 Giải phương trình: $$x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2x+1 (1)$$  

 

 

Câu 2:

$(1)\Leftrightarrow x^2-x-1=x-\sqrt[3]{x^4-x^2}=\frac{x^3-x^4+x^2}{x^2+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}}$ (liên hợp)

$\Leftrightarrow (x^2-x-1)(\frac{x^2}{x^2+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}}+1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

[Pham Quoc Thang]

Bài hình đề sai r kìa, phải là $B,C,E,F$ chứ nhỉ

Anh ấy gõ nhầm thôi bạn,đề k sai,đề là B,C,E,F

[Pham Quoc Thang]

cho em hỏi bài bất đẳng thức làm ren, đọc cái trên kia không hiểu gì cả

Bạn đó xài pp PQR,bạn đặt $r=abc;p=a+b+c;q=ab+bc+ca$
Thì bạn có $a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr=16-16q+2q^2+8r;a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=8-6q+3r$
nên ta đưa đpcm về cm:$(q-1)^2 +r \geq 0 $

[Trung Gauss]

 

 

Câu 4 (2 điểm):

  Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a, b$ là hai số tự nhiên lẻ sao cho $a+b$ chia hết cho $p$ và $a-b$ chia hết cho $p-1$. CMR $a^b+b^a$ chia hết cho $2p$

 

 

Lời giải:

 Không giảm tính tổng quát, giả sử: $a\ge b$. Gọi $r$ là số dư trong phép chia $a$ cho $p$, khi đó: $a\equiv r\pmod{p}$ Vì $p\;|\; a+b$ nên suy ra $b\equiv -r\pmod{p}$. Do đó: $$\begin{aligned} & a^b+b^a\equiv r^b-r^a\pmod{p}\\\Leftrightarrow & a^b+b^a\equiv r^b(1-r^{a-b})\pmod{p}\end{aligned}$$ Mặt khác, do $p-1\;|\; a-b$ nên tồn tại $k\in\mathbb{N}$ sao cho $a-b=k(p-1)$.

 Theo định lý Fermat, ta có: $$\begin{aligned}& r^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\\\Rightarrow & r^{k(p-1)}\equiv 1\pmod{p}\\\Rightarrow &r^{a-b}\equiv 1\pmod{p}\end{aligned}$$ Do đó: $$a^b+b^a\equiv 0\pmod{p}$$

Mặt khác vì $a,b$ là các số tự nhiên lẻ nên $a^b+b^a\equiv 0\pmod{2}$. Từ đó suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 06-06-2015 - 21:35