Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG TRƯỜNG CHUYÊN LONG AN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 20-05-2015 - 16:00

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG

Năm học: 2014-2015

Thời gian: 150 phút

 

I. Phần chung (Cho tất cả thí sinh):

Câu 1 (4 điểm):

      a. Cho $x, y, z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=2$. CMR: $$x^3+y^3+z^3\le 1+\dfrac{1}{2}(x^4+y^4+z^4)$$

      b. Xét số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện $36x^2+16y^2=9$. Tìm GTLN và GTNN của $P=y-2x+5$

Câu 2 (4 điểm):

 Giải phương trình: $$x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2x+1$$ 

Câu 3 ( điểm):

 Giả sử $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ ($D$ khác $B, C$) của tam giác $ABC$. Gọi $E, F$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD, ACD$. CMR nếu $B, C, D, F$ đồng viên thì $\dfrac{AD+BD}{AD+DC}=\dfrac{AB}{AC}$

Câu 4 (2 điểm):

  Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a, b$ là hai số tự nhiên sao cho $a+b$ chia hết cho $p$ và $a-b$ chia hết cho $p-1$. CMR $a^b+b^a$ chia hết cho $2p$

Câu 5 (2 điểm): 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x^2)=f(y).f(2x-y)+(y-x)^2,\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Câu 6 ( điểm): 

Đề thi HKII môn Vật lý có $50$ câu trắc nghiệm, mỗi câu có $4$ phương án. Trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được $0,2$ điểm. Một thí sinh làm được $40$ câu trong đó có $32$ câu đúng. Ở $10$ câu còn lại thí sinh chọn ngẫu nhiên $1$ trong $4$ phương án. Tính xác suất để thí sinh đạt $8$ điểm trở lên.

II. Phần tự chọn (HS chọn câu 7a hoặc câu 7b):

Câu 7a: (2 điểm)

  Cho $a, c>0$. Xét dãy số: $$\begin{cases}x_1=a\\x_{n+1}=c x^2_{n}+x_n,\forall n\in\mathbb{N^*}\end{cases}$$. CMR:$x_n\ge \sqrt{c^{n-1}.n^n.a^{n+1}},\forall n\in\mathbb{N^*}$.

Câu 7b: (2 điểm)

 Do sản xuất bị lỗi, một mảnh vải hình vuông cạnh $1,2$m có $31$ lỗ thủng nhỏ như kim châm. Có thể lợi dụng mảnh vải này để cắt ra một khăn nhỏ hình tròn bán kính $0,1$m không chứa lỗ thủng nào cả hay không?

 

Nguồn: Đề được lấy từ FB của bạn Phạm Quốc Thắng- Hades Phạm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 20-05-2015 - 16:03


#2 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Đã gửi 20-05-2015 - 21:18

Bài 1:

 

Đặt $p=x+y+z=2,q=xy+yz+xz,r=xyz$ thì BĐT được viết lại:

$f(r)=r-2q+q^2+1\geq 0$

Khỏi cần chia 2 trường hợp đánh giá luôn $r\geq 0$ thì BĐT tương đương với

$f(r)=(q-1)^2\geq 0$ hiển nhiên đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1,z=0$ hay các hoán vị.



#3 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 21-05-2015 - 10:24

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG

Năm học: 2014-2015

Thời gian: 150 phút

 

 

Câu 5 (2 điểm): 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x^2)=f(y).f(2x-y)+(y-x)^2,\forall x,y\in\mathbb{R}$$

 

 

 

Lời giải:

 Trong $(*)$ cho $x=y$ ta được: $$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Trong $(1)$ lấy $x=0$ ta được $f(0)=0\vee f(0)=1$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$, trong $(*)$ cho $y=0$ ta được: $$\begin{aligned}&\;\;\;\;f(x^2)=x^2\\&\Leftrightarrow f^2(x)=x^2, \forall x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$ Từ đây suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại ta thấy chỉ có hàm số $f(x)=x,\forall x\in\mathbb{R}$ thỏa mãn bài toán.

Trường hợp 2: $f(0)=1$, trong $(*)$ cho $y=0$, ta được: $$f(x^2)=f(2x)+x^2,\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ Trong $(*)$ thay $y$ bởi $x-y$ ta được: $$f(x^2)=f(x-y)f(x+y)+y^2,\forall x,y\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ Kết hợp $(2)$ và $(3)$ ta được: $$f(2x)+x^2=f(x+y).f(x-y)+y^2,\forall x, y\in\mathbb{R}$$ Đặt $a=x+y,\;b=x-y, \;a,b\in\mathbb{R}$ ta được: $$f(a+b)+ab=f(a).f(b),\forall a,b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ Trong $(*)$, ta thay $y$ bởi $b$, $2x-y$ bởi $a$, ta được: $$f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)=f(a).f(b)-\dfrac{(a-b)^2}{4},\forall a, b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ Kết hợp $(4)$ và $(5)$ ta được:  $$\begin{aligned}&\;\;\;f(a+b)+ab=f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)-\dfrac{(a-b)^2}{4},\forall a, b\in\mathbb{R}\\&\Leftrightarrow 4f(a+b)=4f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)-(a+b)^2,\forall a,b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)\end{aligned}$$ Trong $(6)$ cho $a+b=4$ ta được $-4^2=0$, vô lý.

Vậy chỉ có hàm số thỏa mãn bài toán: $$f(x)=x,\forall x\in\mathbb{R}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 21-05-2015 - 11:58


#4 Son Phan

Son Phan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10/1 THPT Chuyên Bắc Quảng Nam( dienban - quangnam)
  • Sở thích:Yêu toán học,ăn,ngủ và xem tivi

Đã gửi 21-05-2015 - 11:11

f(x)=-x ko đúng mà


:lol:  :namtay Mountain :ukliam2:

 


#5 Nguyen Giap Phuong Duy

Nguyen Giap Phuong Duy

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hậu Nghĩa, Long An
  • Sở thích:Không có sở thích :'(

Đã gửi 21-05-2015 - 11:46

 

Lời giải:

 Trong $(*)$ cho $x=y$ ta được: $$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Trong $(1)$ lấy $x=0$ ta được $f(0)=0\vee f(0)=1$.

Trường hợp 1: $f(0)=0$, trong $(*)$ cho $y=0$ ta được: $$\begin{aligned}&\;\;\;\;f(x^2)=x^2\\&\Leftrightarrow f^2(x)=x^2, \forall x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$

Từ đây suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại ta thấy hai hàm số này thỏa mãn bài toán.


 

$f(0)=0$
thay $y=0$ vào (*) ta có $f(x^2)=x^2$, suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \ge 0$
thay $x=0$ vào (*) ta có $f(0)=f(y)f(-y)+y^2$

suy ra $f(y)f(-y)=-y^2, \forall y \Longrightarrow xf(-x)=-x^2, \forall x>0$

$\Longrightarrow f(-x)=-x, \forall x>0$

kết hợp $f(0)=0$ suy ra $f(x)=x, \forall x$

Vậy chỉ có một hàm thỏa bài toán thôi :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Giap Phuong Duy: 21-05-2015 - 11:47


#6 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 21-05-2015 - 11:51

$f(0)=0$
thay $y=0$ vào (*) ta có $f(x^2)=x^2$, suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \ge 0$
thay $x=0$ vào (*) ta có $f(0)=f(y)f(-y)+y^2$

suy ra $f(y)f(-y)=-y^2, \forall y \Longrightarrow xf(-x)=-x^2, \forall x>0$

$\Longrightarrow f(-x)=-x, \forall x>0$

kết hợp $f(0)=0$ suy ra $f(x)=x, \forall x$

Vậy chỉ có một hàm thỏa bài toán thôi :))

 

Oh thử nhầm  :D



#7 Son Phan

Son Phan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10/1 THPT Chuyên Bắc Quảng Nam( dienban - quangnam)
  • Sở thích:Yêu toán học,ăn,ngủ và xem tivi

Đã gửi 22-05-2015 - 11:10

$f(0)=0$
thay $y=0$ vào (*) ta có $f(x^2)=x^2$, suy ra $f(x)=x$, với mọi $x \ge 0$
thay $x=0$ vào (*) ta có $f(0)=f(y)f(-y)+y^2$

suy ra $f(y)f(-y)=-y^2, \forall y \Longrightarrow xf(-x)=-x^2, \forall x>0$

$\Longrightarrow f(-x)=-x, \forall x>0$

kết hợp $f(0)=0$ suy ra $f(x)=x, \forall x$

Vậy chỉ có một hàm thỏa bài toán thôi :))

tôi lam gióng ri nè


:lol:  :namtay Mountain :ukliam2:

 


#8 Son Phan

Son Phan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10/1 THPT Chuyên Bắc Quảng Nam( dienban - quangnam)
  • Sở thích:Yêu toán học,ăn,ngủ và xem tivi

Đã gửi 22-05-2015 - 11:11

cho em hỏi bài bất đẳng thức làm ren, đọc cái trên kia không hiểu gì cả


:lol:  :namtay Mountain :ukliam2:

 


#9 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 23-05-2015 - 20:44

Bài hình đề sai r kìa, phải là $B,C,E,F$ chứ nhỉ


NgọaLong

#10 lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Phan Chu Trinh, Buôn Ma Thuột, Đăk Lăk
  • Sở thích:Số Học

Đã gửi 23-05-2015 - 23:47

 

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG

Năm học: 2014-2015

Thời gian: 150 phút

 

I. Phần chung (Cho tất cả thí sinh):

 

Câu 2 (4 điểm):

 Giải phương trình: $$x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2x+1 (1)$$  

 

 

Câu 2:

$(1)\Leftrightarrow x^2-x-1=x-\sqrt[3]{x^4-x^2}=\frac{x^3-x^4+x^2}{x^2+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}}$ (liên hợp)

$\Leftrightarrow (x^2-x-1)(\frac{x^2}{x^2+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}}+1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$


- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#11 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 24-05-2015 - 00:10

Bài hình đề sai r kìa, phải là $B,C,E,F$ chứ nhỉ

Anh ấy gõ nhầm thôi bạn,đề k sai,đề là B,C,E,F



#12 Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Long An
  • Sở thích:Bất đẳng thức,Kiếm Hiệp

Đã gửi 24-05-2015 - 00:13

cho em hỏi bài bất đẳng thức làm ren, đọc cái trên kia không hiểu gì cả

Bạn đó xài pp PQR,bạn đặt $r=abc;p=a+b+c;q=ab+bc+ca$
Thì bạn có $a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr=16-16q+2q^2+8r;a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=8-6q+3r$
nên ta đưa đpcm về cm:$(q-1)^2 +r \geq 0 $



#13 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 06-06-2015 - 21:33

 

 

Câu 4 (2 điểm):

  Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a, b$ là hai số tự nhiên lẻ sao cho $a+b$ chia hết cho $p$ và $a-b$ chia hết cho $p-1$. CMR $a^b+b^a$ chia hết cho $2p$

 

 

Lời giải:

 Không giảm tính tổng quát, giả sử: $a\ge b$. Gọi $r$ là số dư trong phép chia $a$ cho $p$, khi đó: $a\equiv r\pmod{p}$ Vì $p\;|\; a+b$ nên suy ra $b\equiv -r\pmod{p}$. Do đó: $$\begin{aligned} & a^b+b^a\equiv r^b-r^a\pmod{p}\\\Leftrightarrow & a^b+b^a\equiv r^b(1-r^{a-b})\pmod{p}\end{aligned}$$ Mặt khác, do $p-1\;|\; a-b$ nên tồn tại $k\in\mathbb{N}$ sao cho $a-b=k(p-1)$.

 Theo định lý Fermat, ta có: $$\begin{aligned}& r^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\\\Rightarrow & r^{k(p-1)}\equiv 1\pmod{p}\\\Rightarrow &r^{a-b}\equiv 1\pmod{p}\end{aligned}$$ Do đó: $$a^b+b^a\equiv 0\pmod{p}$$

Mặt khác vì $a,b$ là các số tự nhiên lẻ nên $a^b+b^a\equiv 0\pmod{2}$. Từ đó suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 06-06-2015 - 21:35


#14 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 849 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 14:27

HYA






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh