Chủ đề này có 8 trả lời

[Kakalotta]

Mọi người làm chơi mấy bài này:
Bài 1: cho , với chuẩn
||f|| =sup_{x:in [a,b]}{|f|+|f'|)
hãy chỉ ra các tập compact của X.
ví dụ |sin x|=sup (sin+cos)=can 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 16-02-2005 - 08:50

[Doraemon]

sup(/f/+/f'/) hay là không có ngoặc hả anh Kaka ?

[hoadaica]

Mung mot Tet len choi lay he^n ma gap cai bai toan nay chang hieu gi ca, bac danh nham the nao day. Hinh nhu chuan thi phai???? Neu the thi minh khong giai dau, bai nay kho lam,hiii

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoadaica: 09-02-2005 - 16:59

[Kakalotta]

Preliminary Exam of Berkeley - Fall 1977


Problem 1 Let A=ma trận (7 15)
(-2 -4)

Find a real matrix B such that B^{-1}A B is diagonal.

Problem 2
Using only the axioms for a field F, prove that a system of m homogeneous linear equations in n unknowns with m<n
and coefficients in F has a nonzero solution.
Use Part 1 to show that if V is a vector space over F which is spanned by a finite number of elements, then every maximal linearly independent subset of V has the same number of elements.

Problem 3 Let T be an n*n complex matrix. Show that

lim_{n --> } T^n=0
if and only if all the eigenvalues of T have absolute value less than 1.

Problem 4 Let P be a linear operator on a finite-dimensional vector space over a finite field. Show that if P is invertible, then P^n=I for some positive integer n.
Problem 5
Show that the set of all units in a ring with unity form a group under multiplication. (A unit is an element having a two-sided multiplicative inverse.) _ring>unit

In the ring Z_n , show that k is a unit if and only if k and n are relatively prime.
Suppose n=pq, where p and q are primes. Prove that the number of units in Z_n is (p-1)(q-1).
Problem 6 Let u:R^2--->R be the function defined by u(x,y)=x^3-3xy^2
. Show that u s harmonic and find v R^2--->R such that the function f:C--->C defined by f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) is analytic
Problem 7 Evaluate
$ \int \limits_{- \infty }^{ \infty } \dfrac{dx}{1+x^{2n}} [\tex]
where n is a positive integer.
Problem 8 Find all solutions of the differential equation
x''-2x+x=sint
subject to the condition x(o)=1 and x'(0)=0.
Problem 9 Let f:[0,1]-->R be continuously differentiable, with f(0)=0. Prove that
sup_{0<=x<=1} |f(x)|<=( :limits_{0}^{1}(f'(x))^2 )^{1/2}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 16-02-2005 - 08:58

[Kakalotta]

Problem 10 Let f_n:R-->R be differentiable for each n
with |f'_n(x)|<=1 for all n and x. Assume f_n(x)-->g(x) :
for all x. Prove that g is continuous.
Problem 11 Show that the differential equation x'=3x^2 has no solution such that x(0)=1 and x(t) is defined for all real numbers t.
Problem 12 Let X R be a nonempty connected set of real numbers. If every element of X is rational, prove X has only one element.
Problem 13 Consider the following four types of transformations:
z--> z+b;z--> 1/z;z--> kz; k 0
z--> :frac{az+b}{cz+d} ad-bc 0
Here, z s a variable complex number and the other letters denote constant complex numbers. Show that each transformation takes circles to either circles or straight lines.
Problem 14 If a and b are complex numbers and a 0, the set a^b consists of those complex numbers c having a logarithm of the form bx, for some logarithm x of a. (That is, e^{bx}=c and e^x=a for some complex number x.) Describe set a^b when a=1 and b=1/3+i.
Problem 15 Let f have continuous partial derivatives and satisfy
| :frac{df}{dx_j}(x) | K
for all x=(x_1..x_n) , . Prove that
|f(x)-f(y)| n^{1/2}K ||x-y||
Problem 17 Let be the set of 3*3 real matrices with zeros below the diagonal and ones on the diagonal.
Prove G is a group under matrix multiplication.
Determine the center of G.
Problem 18 Suppose the complex number z is a root of a polynomial of degree with rational coefficients. Prove that 1/z is also a root of a polynomial of degree n with rational coefficients.
Problem 19 Let be a real 3*3 matrix such that M^3=I,M I .
What are the eigenvalues of M?
Give an example of such a matrix.
Problem 20 Let C^3 denote the set of ordered triples of complex numbers. Define a map by
F(x,y,z)=(x+y+z,xy+yz+zx,xyz)
Prove that F is onto but not one-to-one.

[Kakalotta]

Mọi người không ai làm à. hay chê là quá dễ. Mình sẽ cho bài khó hơn nữa vậy.

[hoangmanhquang]

Mọi người không ai làm à. hay chê là quá dễ. Mình sẽ cho bài khó hơn nữa vậy.

Ặc, không ai dám chê bài dễ đâu Hạnh ạ. Nhưng mà ông cho một lúc 20 bài thế này, ngồi giải hết được chắc tổn thọ quá , chưa kể gõ vào nữa.

[Kakalotta]

Nói chung ai giải quyết được bài nào thì nói qua ý tưởng của nó.
Bài 1 thì tầm thường nhé, chéo hóa là xong.
Bài 20: ta thấy ngay hệ pt x+y+z=a; xy+yz+xz=b, xyz=c luôn có nghiệm trên C (X^3-AX^2+BX-C=0) nên ánh vạ là toàn ánh. Còn F(x,y,z)=F(y,z,x) nên ánh xạ này trên tập hợp C\{x=y=z;x=y;y=z;x=z} sẽ là phủ cấp 6....
Bài 19: tam giác hóa hoặc nhiều cách khác...
Nói chung mấy bài này mình nghĩ cứ ngồi làm nhẩm là OK....Mọi người post bài đi chứ, được cái nào hay cái ấy.

[mitdac]

Bài về tập cp em nghĩ là đổi thành cp tương đối thì dễ hơn vì khó "mô tả" tập đóng trong kg hàm lắm .

Nếu là cp tương đối thì cách làm giống như đl Ascoli . Nhưng đó là cách làm . Em đang thử coi nó như là 1 hq của đl Ascoli nhưng vẫn chưa ra .