Tìm GTNN của P=$(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$ với a,b,c>0 và a+b+c$\leq \frac{3}{2}$
thank 
GTNN $(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$
Bắt đầu bởi songokucadic1432, 21-05-2015 - 21:19
#1
Đã gửi 21-05-2015 - 21:19
songokucadic1432
-
- Thành viên
-
- 253 Bài viết
Thượng sĩ
''MUỐN BIẾT PHẢI HỎI MUỐN GIỎI PHẢI HỌC''$\rightarrow$ TRUE STORY
#2
Đã gửi 21-05-2015 - 21:45
HoangVienDuy
-
- Thành viên
-
- 309 Bài viết
Sĩ quan
Tìm GTNN của P=$(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$ với a,b,c>0 và a+b+c$\leq \frac{3}{2}$
thank
đặt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=x;\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=y;\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=z$
$P=(3+x)(3+y)(3+z)=27+3\sum xy +9\sum x +xyz$
Mà
$xyz=\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right )\geq \frac{8}{abc}$
Ta lại có
$\frac{3}{2}\geq \sum a\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}\Leftrightarrow \frac{8}{abc}\geq 64$
=>$xyz\geq 64$
suy ra $P\geq 343$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangVienDuy: 21-05-2015 - 21:50
- songokucadic1432, Truong Gia Bao và congdaoduy9a thích
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
#3
Đã gửi 21-05-2015 - 21:51
ZzNightWalkerZz
-
- Thành viên
-
- 159 Bài viết
Trung sĩ
Rất đơn giản : $\frac{3}{2} \geq a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} => abc \leq \frac{1}{8}$
Bây giờ chỉ việc chọn dấu = rồi sử dụng BĐT Cosi với biểu thức trong ngoặc là ra
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 21-05-2015 - 21:51
- songokucadic1432 và hoctrocuaZel thích
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#4
Đã gửi 21-05-2015 - 21:54
ZzNightWalkerZz
-
- Thành viên
-
- 159 Bài viết
Trung sĩ
đặt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=x;\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=y;\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=z$
$P=(3+x)(3+y)(3+z)=27+3\sum xy +9\sum x +xyz$
Mà
$xyz=\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} \right )\geq \frac{8}{abc}$
Ta lại có
$\frac{3}{2}\geq \sum a\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}\Leftrightarrow \frac{8}{abc}\geq 64$
=>$xyz\geq 64$
suy ra $P\geq 343$
Không cần phải phân tích biểu thức đâu. Sử dụng Cosi luôn sẽ nhanh hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 21-05-2015 - 21:54
.
Reaper
.
.
The god of carnage
#5
Đã gửi 11-04-2021 - 17:02
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta dễ có:$VT\geq \prod (3+\frac{4}{a+b})$
Đặt $(a+b,b+c,c+a)\rightarrow (x,y,z)$ thì $x+y+z=2(a+b+c)\leq 3$
Ta cần tìm GTNN của $(3+\frac{4}{x})(3+\frac{4}{y})(3+\frac{4}{z})=27+36(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+48(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})+\frac{64}{xyz}\geq 343$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c $=\frac{1}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
