Chủ đề này có 5 trả lời

[ngocanhnguyen10]

Cho hai số nguyên dương x; y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:

                        $S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

[Truong Gia Bao]

Cho hai số nguyên dương x; y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:

                        $S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}$

Vì $x+y=1\Rightarrow x^2+y^2=1-2xy$

Có: $S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{1-2xy}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\geq \frac{4}{1-2xy+2xy}+\frac{1}{4.\frac{(x+y)^2}{4}}=4+1=5$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0,5$

[Dinh Xuan Hung]

Cho hai số nguyên dương x; y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:

                        $S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

$S=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\geq \frac{(1+1)^2}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2}=4+1=5$

[Sherlock Nguyen]

Cho hai số nguyên dương x; y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:

                        $S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

Ta có: $S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+1=5$

[XanCao]

Cho hai số nguyên dương x; y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:

                        $S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

 

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 số không âm, ta có:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{(1+1)^{2}}{(x+y)^{2}}=\frac{4}{1}=4$ (1)

 

Ta có:

$x+y=1\Leftrightarrow x=1-y$

$\rightarrow xy=(1-y)y=y-y^{2}=-(y^{2}-y)=-(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}$

$\rightarrow 4xy\leq 1$

$\frac{1}{4xy}\geq1$ (2)

 

(1)(2)$\rightarrow$ $A\geq 4+1=5$

 

Dấu = xảy ra <-> x=y=0,5

[Quoc Tuan Qbdh]

$S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy} Áp dụng Svacxo : \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy} \geq \frac{4}{(x+y)^{2}} = 4 Áp dụng Cauchy : \frac{1}{4xy} \geq \frac{1}{(x+y)^{2}}=1 Vậy Min = 5 khi x=y=0,5$