Chủ đề này có 1 trả lời

[Thao Huyen]

Cho x,y,z> 0 và $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{z^2}$

Tìm Min $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

[nguyenhongsonk612]

Cho x,y,z> 0 và $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{z^2}$

Tìm Min $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Bài này kinh khủng quá! Có đôi nét giống bài này

http://diendantoanho...frac1sqrtx2y21/

Mình sẽ làm như sau

Lời giải

Ta có $P=\frac{\frac{x}{z}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{z}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}+1}}$

Khi đó đặt $a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}$. Bài toán trở thành

Cho $a,b>$ thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=2$. Tìm Min của $P=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{1}{\sqrt{1+a^2+b^2}}$

Đặt $S=x+y;P=xy$ Theo BĐT $AM-GM$ ta có $2\sqrt{y}=2\sqrt{ab}\leq a+b=x\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=2y$

$P=\frac{2y^2+x}{1+x+y}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+1}}\geq \frac{2y^2+2\sqrt{y}}{1+3y}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+1}}=f(y)$

Xét $f(y)=\frac{2y^2+2\sqrt{y}}{1+3y}+\frac{1}{\sqrt{2y^2+1}}$ trên $[1;+\infty]$

$f'(y)=-\frac{2y}{(2y^2+1)^{\frac{3}{2}}}-\frac{3(2y^2+2\sqrt{y})}{(3y+1)^2}+\frac{4y+\frac{1}{\sqrt{y}}}{3y+1}> 0$ (Khi nào C/m cái này)

$\Rightarrow f(y)\geqslant f(1)=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$

Vậy Min $P=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$ hay $x=y=z$