Chủ đề này có 5 trả lời

[Juliel]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả mãn :

$$f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

[Johan Liebert]

Thay $y:=f(y)$ ta có:

$f(f(y)+f(x))=f(x)f(f(y))+f(f(x))+f(f(y))-xf(y)(1)$

Thay $y:=f(x) \ \ \ x:=y$ ta có

$f(f(x)+f(y))=f(y)f(f(x))+f(f(x))+f(f(y))-yf(x)(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có

$f(x)f(f(y))--xf(y)=f(y)f(f(x))-yf(x)$

$\leftrightarrow f(x)[f(f(y))+y]=f(y)[f(f(x))+x]$

$\rightarrow \frac{f(f(x))+x}{f(x)}=k$ với k là hằng số

$\rightarrow f(f(x))=kf(x)-x$ và $f(f(f(x)))=(k^2-1)f(x)-kx$(3)

Thay vào đề bài $x:=f(x) \ \ \ \ y:=f(x)$ 

Thay tiếp vào đề bài $x:=x \ \ \ \ y:=f(f(x))$

Vì 2 vế trái bằng nhau đều là $f(f(x)+f(f(x)))$ nên 2 vế phải bằng nhau

Biến đổi hết về x và f(x) theo (3)

Ta sẽ được $(k^2-1)f^2(x)-(k^2+k-1)xf(x)+kx^2=0$

Đến đây dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 25-05-2015 - 09:37

[Juliel]

Thay $y:=f(y)$ ta có:

$f(f(y)+f(x))=f(x)f(f(y))+f(f(x))+f(f(y))-xf(y)(1)$

Thay $y:=f(x) \ \ \ x:=y$ ta có

$f(f(x)+f(y))=f(y)f(f(x))+f(f(x))+f(f(y))-yf(x)(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có

$f(x)f(f(y))--xf(y)=f(y)f(f(x))-yf(x)$

$\leftrightarrow f(x)[f(f(y))+y]=f(y)[f(f(x))+x]$

$\rightarrow \frac{f(f(x))+x}{f(x)}=k$ với k là hằng số

$\rightarrow f(f(x))=kf(x)-x$ và $f(f(f(x)))=(k^2-1)f(x)-kx$(3)

Thay vào đề bài $x:=f(x) \ \ \ \ y:=f(x)$ 

Thay tiếp vào đề bài $x:=x \ \ \ \ y:=f(f(x))$

Vì 2 vế trái bằng nhau đều là $f(f(x)+f(f(x)))$ nên 2 vế phải bằng nhau

Biến đổi hết về x và f(x) theo (3)

Ta sẽ được $(k^2-1)f^2(x)-(k^2+k-1)xf(x)+kx^2=0$

Đến đây dễ rồi

Bạn nên nhớ chỗ này hàm số có thể nhảy giá trị nhé, hơn nữa nếu không tìm được $k$ thì hai cái nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $f(x)/X$ hết sức cồng kềnh. Bạn làm tiếp cho mình được không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 25-05-2015 - 19:02

[Johan Liebert]

Bạn nên nhớ chỗ này hàm số có thể nhảy giá trị nhé, hơn nữa nếu không tìm được $k$ thì hai cái nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $f(x)/X$ hết sức cồng kềnh. Bạn làm tiếp cho mình được không 

Đúng là có nhảy giá trị. Nhưng mà bạn chỉ cần xét vài trường hợp là tính được k theo cái $\frac{f(f(x))+x}{f(x)=k$

[Juliel]

Đúng là có nhảy giá trị. Nhưng mà bạn chỉ cần xét vài trường hợp là tính được k theo cái $\frac{f(f(x))+x}{f(x)=k$

Bạn làm cho lúc ra kết quả cuối cùng giùp mình với !

[Karl Heinrich Marx]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả mãn :

$$f(y+f(x))=f(x)f(y)+f(f(x))+f(y)-xy,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Có thể dùng thêm một biến $z$ để linh hoạt hơn,

ta khai triển:

$$f(z+f(y)+f(x))=f(x)f(z+f(y))+f(f(x))+f(z+f(y))-x(z+f(y))=f(x)(f(z)f(y)+f(f(y))+f(z)-zy)+f(f(x))+f(z)f(y)+f(f(y))+f(z)-yz-xz-xf(y)$$

Viết lại thế này cho rõ ràng hơn một chút:

$$f(z+f(y)+f(x))=f(x)f(y)f(z)+(f(f(x))+f(f(y)))+f(z)(f(x)+f(y))+f(z)-z(x+y)+f(x)f(f(y))-zyf(x)-xf(y)$$

Phần đầu mình đã viết ra những hạng tử nhóm lại mà $x$ và $y$ vai trò là như nhau, đổi vai trò $x$ và $y$ ta thu được:

$$ f(x)f(f(y))-zyf(x)-xf(y) = f(y)f(f(x))-zxf(y)-yf(x)$$

Bây giờ xét đến số 0 trước, thì không khó để chứng minh được $f(x)=0$ khi và chỉ khi $x=0$

Giờ xét $x,y$ đều khác 0.

Cho $z=0 \Rightarrow \frac{f(f(x))+x}{f(x)} = const$, cho $z=1 \Rightarrow \frac{f(f(x))}{f(x)} = const$

Vậy $\frac{f(x)}{x} =k$ là hằng số.

Thay vào thì được $k=1$ hoặc $k=-1$