Cho tam giác ABC với AB<AC, nội tiếp (O) tâm nội tiếp I. M là trung điểm BC, N là trung điểm cung BC chứa A của (O). (IAN) và (IBM) cắt nhau tại K khác I. BK giao AC tại X. NK giao AI tại Y. Chứng minh rằng XY,BI và AN đồng quy.
Chứng minh rằng XY, BI và AN đồng quy
Bắt đầu bởi quanchun98, 25-05-2015 - 10:08
#2
Đã gửi 05-08-2018 - 01:33
Chuyển đổi tên điểm ở đề bài như hình vẽ cho dễ nhìn
Yêu cầu đề bài tương đương với việc JL đi qua tâm bàng Ib
Có A(IbISB)=-1 (hàng điểm quen thuộc)
Đến đây ta sẽ có 2 hướng kill this problem
1. B(IJAK)=AI/AJ.KJ/KI
=AI/AN.AN/AJ.KJ/KI
=AI/AN.HI/HJ.KJ/KI
=tanIMB.sinHKI/sinKHI.sinKHJ/sinHKJ
=tan(IMB).sinKHJ/cosKHJ
=tan(IMB).cot(IMB)=-1
2. Kẻ hình chữ nhật IEMF (F là tiếp điểm của (I) với BC)
Dễ thấy M,E,N thẳng hàng mà IE//BC nên NEI=90
Vậy NEI+NEI=180 nên E thuộc (IAN)
Mặt khác MF=MD (D là tiếp điểm của đường tròn A-ex vì DF//=2IE)
Nên IE=MF=MD hay IEDM là hình bình hành hay IMB=EDB
Áp dụng bổ đề thì AHJ=AEN=MED=MIF=90-IMB
Mặt khác JHK=90-IHK=90-IMB
Do đó JHA=JHK hay HJ là phân giác
Mà JHI=90 nên HI là phân giác ngoài hay (IJKA)=-1
=> Từ 2 cách tiếp cận trên ta đều có chung 1 kết quả
* B(IJAK)=A(IbISB)=-1
=>B(IbJAL)=A(IbJBL)
=>J,L,Ib thẳng hàng (ĐPCM)
- Francis Berdano yêu thích
#3
Đã gửi 05-08-2018 - 02:12
Mở rộng: BJ cắt IL tại AIb
CM: Áp dụng kết quả bài toán đầu thì có I(TGAIb)=-1 với T=JS cắt AN
Từ đó kết hợp với (BSIIb)=-1 thì GJ đi qua B.
Lại có: (TGAIb)=(BSIIb)=-1 mà J,L,Ib thẳng hàng
Áp dụng định lí Papps cho {T,A,G} và {B,I,S} thì IT,AB,JL đquy
Tiếp tục áp dụng hàng điểm thì lại có O,K,S thẳng hàng
Remark: Từ đó ta có thể thấy bài toán còn có thể có cách CM khác
nữa dựa vào rất nhiều hàng điểm = -1
- duylax2412 và Francis Berdano thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh